Calculateur de cototient : n moins le totient d’Euler

Le cototient d’un entier positif n est égal à n moins le totient d’Euler phi(n). Il compte les entiers de 1 à n qui ne sont pas premiers avec n, y compris n lui-même. Ce calculateur fournit la valeur exacte par une arithmétique déterministe fondée sur les facteurs premiers, sans échantillonnage aléatoire, approximation flottante ni service externe. Saisissez un entier positif pour vérifier un exercice de théorie des nombres, étudier l’effet des facteurs communs sur le décompte ou ajouter une étape fiable de cototient à un traitement automatisé.

Ce que mesure le cototient

Le totient d’Euler phi(n) compte les entiers positifs inférieurs ou égaux à n qui sont premiers avec n, c’est-à-dire dont le plus grand commun diviseur avec n vaut un. Le cototient donne le décompte complémentaire : n moins phi(n). Il compte donc les valeurs du même intervalle qui partagent un facteur avec n.

La valeur n elle-même appartient à ce complément puisque gcd(n, n) vaut n et non un ; lorsque n vaut un, la définition donne néanmoins un cototient nul. Si p est premier, tous les entiers positifs plus petits sont premiers avec p, donc phi(p) vaut p moins un et son cototient vaut un. Les nombres composés ont généralement un cototient supérieur, car les multiples de leurs facteurs premiers occupent l’intervalle.

Par exemple, phi(12) vaut quatre, et le cototient de 12 vaut donc huit. Cette lecture est pratique pour compter des résidus non premiers entre eux, des fractions réduites exclues ou le complément d’un décompte de totient. La réponse présente n normalisé et son cototient dans un objet compact, facilement exploitable par une personne ou un programme.

Comment le calcul exact est effectué

L’implémentation vérifie d’abord que n est un entier compris entre un et la borne maximale publiée. Elle factorise ensuite n par division d’essai déterministe, en retirant le facteur deux avant de tester les diviseurs impairs. Chaque facteur premier distinct p met à jour le totient courant au moyen de la forme entière de la formule produit d’Euler : le résultat courant est divisé par p puis multiplié par p moins un.

Les puissances répétées d’un même nombre premier sont retirées avant de poursuivre, car chaque premier distinct n’intervient qu’une fois dans le produit. Si un cofacteur premier subsiste, une dernière mise à jour est appliquée. Le cototient est obtenu en soustrayant cette valeur exacte de phi à n.

Toutes les entrées admises restent dans la plage des entiers sûrs de JavaScript, et chaque opération est entière : aucun arrondi n’influence le résultat. Il n’y a ni appel réseau, ni hasard, ni heure courante, ni cache mutable.

Quand utiliser ce calculateur

Utilisez le calculateur du navigateur pour une valeur isolée lorsque vous étudiez la théorie élémentaire des nombres, vérifiez le complément de phi(n) ou comparez nombres premiers et composés. La borne d’un billion maintient la division d’essai dans un domaine borné et un temps raisonnable pour ce moteur analytique simple ; cet outil ne vise ni la factorisation d’entiers cryptographiques ni le remplacement d’un logiciel spécialisé en grands nombres. Ici, cototient signifie exactement n moins le totient d’Euler, et non la liste des valeurs concernées ou une probabilité.

Pour une intégration stable, lisez directement le champ cototient et considérez les messages de validation comme des diagnostics, sans dépendre de leur formulation précise.