Calculadora de cototiente: n menos el totiente de Euler

El cototiente de un entero positivo n es n menos el totiente de Euler phi(n). Cuenta los enteros de 1 a n que no son coprimos con n, incluido el propio n. Esta calculadora obtiene el valor exacto mediante aritmética determinista con factores primos, sin muestreo aleatorio, aproximaciones de coma flotante ni servicios externos. Introduzca un entero positivo para comprobar un ejercicio de teoría de números, estudiar cómo los factores compartidos cambian el recuento o incorporar un paso fiable de cototiente a un flujo automatizado.

Qué mide el cototiente

El totiente de Euler phi(n) cuenta los enteros positivos no mayores que n que son coprimos con n, es decir, cuyo máximo común divisor con n es uno. El cototiente expresa el recuento complementario: n menos phi(n). Por tanto, cuenta los valores del mismo intervalo que comparten algún factor con n.

El extremo incluye al propio n en ese complemento porque gcd(n, n) es n y no uno; para n igual a uno, sin embargo, la definición da cototiente cero. Si p es primo, todos los enteros positivos menores que p son coprimos con él, de modo que phi(p) es p menos uno y su cototiente vale uno. Los números compuestos suelen tener cototientes mayores, pues los múltiplos de sus factores primos ocupan el intervalo.

Por ejemplo, phi(12) es cuatro y el cototiente de 12 es ocho. Esta interpretación resulta útil al contar residuos no coprimos, fracciones reducidas excluidas o el complemento de un recuento de totiente. La respuesta contiene el valor normalizado de n y su cototiente en un objeto compacto y claro.

Cómo se realiza el cálculo exacto

La implementación comprueba primero que n sea un entero entre uno y el límite máximo publicado. Después factoriza n mediante división de prueba determinista: elimina el factor dos y luego examina divisores impares. Cada factor primo distinto p actualiza el totiente provisional con la forma entera de la fórmula del producto de Euler: divide el valor vigente entre p y lo multiplica por p menos uno.

Las potencias repetidas del mismo primo se eliminan antes de continuar, ya que cada primo distinto aparece una sola vez en el producto. Si queda un cofactor primo tras la división de prueba, se aplica una actualización final. El cototiente se obtiene restando de n ese valor exacto de phi.

Todos los valores admitidos están dentro del intervalo de enteros seguros de JavaScript y cada operación sigue siendo entera, por lo que no interviene el redondeo. No hay peticiones de red, elecciones aleatorias, hora actual ni caché mutable.

Cuándo usar esta calculadora

Use la calculadora del navegador para valores individuales al estudiar teoría elemental de números, verificar el complemento de phi(n) o comparar entradas primas y compuestas. El máximo de un billón mantiene acotada la división de prueba y ofrece un tiempo razonable para este motor analítico sencillo; esta capacidad no pretende factorizar enteros de tamaño criptográfico ni sustituir programas especializados de enteros grandes. Recuerde que aquí cototiente significa exactamente n menos el totiente de Euler: no devuelve la lista de valores no coprimos ni una probabilidad.

Para integraciones estables, consuma directamente el campo cototient y trate el texto de validación como diagnóstico, sin basar el control del programa en su redacción exacta.