Kototient-Rechner: n minus Eulers Phi-Funktion
Der Kototient von 36 ist 24: So viele Zahlen von 1 bis 36 haben mit 36 einen gemeinsamen Faktor. Geben Sie eine positive ganze Zahl bis eine Billion ein und erhalten Sie die exakte Anzahl, n minus Eulers Phi-Funktion. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 36
- Kototient
- 24
Der Kototient einer positiven Ganzzahl n ist n minus Eulers Phi-Funktion phi(n). Er zählt die ganzen Zahlen von 1 bis n, die nicht teilerfremd zu n sind, einschließlich n selbst. Dieser Rechner liefert den exakten Wert durch deterministische Primfaktor-Arithmetik, ohne Zufallsstichprobe, Gleitkommanäherung oder externen Dienst. Geben Sie eine positive Ganzzahl ein, um eine Aufgabe aus der Zahlentheorie zu prüfen, den Einfluss gemeinsamer Faktoren auf die Anzahl zu untersuchen oder einen zuverlässigen Kototienten-Schritt in einen automatisierten Ablauf einzubauen.
Was der Kototient misst
Eulers Phi-Funktion phi(n) zählt die positiven ganzen Zahlen bis einschließlich n, die zu n teilerfremd sind, deren größter gemeinsamer Teiler mit n also eins ist. Der Kototient bildet die ergänzende Anzahl: n minus phi(n). Er zählt folglich die Werte im selben Bereich, die einen Faktor mit n gemeinsam haben. n selbst gehört dazu, weil gcd(n, n) gleich n und nicht eins ist; für n gleich eins ergibt die Definition dennoch den Kototienten null.
Ist p eine Primzahl, sind alle kleineren positiven ganzen Zahlen zu p teilerfremd. Daher ist phi(p) gleich p minus eins und der Kototient gleich eins. Zusammengesetzte Zahlen besitzen meist größere Kototienten, da Vielfache ihrer Primfaktoren den Bereich belegen.
Beispielsweise ist phi(12) gleich vier, sodass der Kototient von 12 acht beträgt. Diese Sichtweise hilft bei Aufgaben über nicht teilerfremde Reste, ausgeschlossene gekürzte Brüche oder das Komplement einer Phi-Anzahl. Die Antwort enthält die normalisierte Eingabe n und ihren Kototienten als kompaktes Objekt, sodass das Hauptergebnis für Menschen und Programme eindeutig bleibt.
Wie die exakte Berechnung funktioniert
Die Implementierung prüft zunächst, ob n eine Ganzzahl zwischen eins und der veröffentlichten Obergrenze ist. Danach zerlegt sie n durch deterministische Probedivision in Faktoren, entfernt zuerst den Faktor zwei und testet anschließend ungerade Teiler. Jeder verschiedene Primfaktor p aktualisiert den laufenden Phi-Wert mit der ganzzahligen Form von Eulers Produktformel: Der aktuelle Wert wird durch p geteilt und mit p minus eins multipliziert.
Wiederholte Potenzen derselben Primzahl werden vor dem Fortsetzen entfernt, weil jede verschiedene Primzahl im Produkt nur einmal vorkommt. Bleibt nach der Probedivision ein Primfaktor übrig, erfolgt eine letzte Aktualisierung. Der Kototient entsteht durch Subtraktion dieses exakten Phi-Werts von n.
Alle zulässigen Eingaben liegen im sicheren Ganzzahlbereich von JavaScript, und jeder Rechenschritt bleibt ganzzahlig; Rundungen beeinflussen das Ergebnis daher nicht. Es gibt keinen Netzwerkzugriff, Zufall, Bezug zur aktuellen Zeit oder veränderlichen Cache.
Wann sich dieser Rechner lohnt
Verwenden Sie den Browser-Rechner für einzelne Werte, wenn Sie elementare Zahlentheorie lernen, das Komplement von phi(n) prüfen oder Primzahlen mit zusammengesetzten Zahlen vergleichen. Die Obergrenze von einer Billion hält die Probedivision beschränkt und die Laufzeit für diese einfache analytische Engine praktikabel. Die Fähigkeit ist weder zum Faktorisieren kryptografisch großer Ganzzahlen noch als Ersatz für spezialisierte Großzahlensoftware gedacht.
Beachten Sie, dass Kototient hier genau n minus Eulers Phi-Funktion bedeutet, nicht eine Liste der nicht teilerfremden Werte und keine Wahrscheinlichkeit. Lesen Sie bei stabilen Integrationen direkt das Feld cototient aus und behandeln Sie Validierungsmeldungen als Diagnose; bauen Sie die Programmsteuerung nicht auf deren exakten Wortlaut auf.
Anwendungsfälle
Aufgaben zur Zahlentheorie prüfen
Bestätigen Sie das Komplement von Eulers Phi-Funktion für eine positive Ganzzahl, ohne alle nicht teilerfremden Werte einzeln aufzulisten.
Lehrmaterial erstellen
Erzeugen Sie deterministische Kototienten-Antworten für Aufgaben, die Primzahlen, Primzahlpotenzen und zusammengesetzte Zahlen vergleichen.
Ganzzahl-Pipelines validieren
Ergänzen Sie Tests oder Vorverarbeitungsschritte für beschränkte positive Ganzzahlen um eine exakte Kototienten-Berechnung.
Häufige Fragen
Was ist der Kototient von n?
Er ist n minus Eulers Phi-Funktion phi(n), also die Anzahl der ganzen Zahlen von 1 bis n, die nicht teilerfremd zu n sind.
Wie lautet der Kototient von eins?
Er ist null, weil phi(1) gleich eins ist; somit ist 1 minus phi(1) gleich null.
Wie wird das Ergebnis berechnet?
Der Solver findet die verschiedenen Primfaktoren von n, berechnet phi(n) mit Eulers Produktformel in exakten Ganzzahlschritten und zieht phi(n) von n ab.
Wie groß ist der Kototient von 12?
Er ist 8. Eulers Phi-Funktion von 12 ergibt 4, also haben 12 − 4 = 8 Zahlen zwischen 1 und 12 einen gemeinsamen Faktor mit 12, darunter die 12 selbst.
Wie groß ist der Kototient einer Primzahl?
Er ist immer 1. Jede kleinere positive Zahl ist zu einer Primzahl teilerfremd, also teilt im Bereich nur die Primzahl selbst einen Faktor mit ihr.
Wie groß ist der Kototient von eins?
Er ist null. Nach der Definition ist die Phi-Funktion von 1 gleich 1, und 1 minus 1 ergibt null. Das ist der einzige Fall, in dem n selbst nicht mitgezählt wird.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/cototient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":36}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/cototient", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 36
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/cototient",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 36
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/cototient", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":36}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/cototient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 36
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.cototient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie die exakte Berechnung funktioniert
Dieselbe reine Funktion versorgt API und Browser. Null, negative Zahlen, Brüche, ein fehlendes n und Werte oberhalb der Grenze führen zu invalid_input statt zu einer irreführenden Zahl.
Rechner und API sinnvoll verwenden
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, Aufgabengenerator, Testpaket oder Bildungsdienst dieselbe deterministische Operation wiederholt benötigt. Senden Sie n als JSON-Ganzzahl; für den Browser normalisiert der gemeinsame Solver außerdem eine ganzzahlig geschriebene Zeichenkette. Jede erfolgreiche Anfrage kostet $0.002 pro Element, während eine bei der Validierung abgelehnte Eingabe kein berechnetes Ergebnis erzeugt.
Technische Fragen
Was geschieht, wenn n kleiner als eins ist?
Die Anfrage schlägt mit invalid_input fehl. Die Fähigkeit akzeptiert nur positive Ganzzahlen.
Was kostet eine API-Anfrage?
Jede erfolgreiche Anfrage kostet $0.002 pro Element. Der Browser-Rechner kann dieselbe deterministische Logik lokal ausführen.