Mertens-Funktion-Rechner

Der Rechner für die Mertens-Funktion liefert M(n), also die laufende Summe der Möbius-Funktion von 1 bis zu einer positiven ganzen Zahl n. Damit lässt sich direkt untersuchen, wie sich quadratfreie Zahlen mit einer geraden beziehungsweise ungeraden Anzahl verschiedener Primfaktoren in einem Anfangsintervall ausgleichen. Geben Sie n ein, um das exakte ganzzahlige Ergebnis mit einem deterministischen linearen Sieb zu erhalten. Die Berechnung verwendet weder Zufallsstichproben noch externe Dienste oder gespeicherte Tabellen. Daher ergibt dieselbe gültige Eingabe stets dieselbe Antwort.

Was die Mertens-Funktion misst

Die Mertens-Funktion ist durch M(n) = μ(1) + μ(2) + ... + μ(n) definiert, wobei μ die Möbius-Funktion bezeichnet. Für eine positive ganze Zahl k ist μ(k) gleich null, wenn das Quadrat einer Primzahl k teilt. Andernfalls ist μ(k) gleich 1, wenn k eine gerade Anzahl verschiedener Primfaktoren besitzt, und -1 bei einer ungeraden Anzahl.

Die laufende Summe erfasst somit eine vorzeichenbehaftete Bilanz unter den quadratfreien Zahlen; Zahlen mit wiederholten Primfaktoren tragen nichts bei. Dieser Rechner schließt beide Grenzen ein: Eine Eingabe n umfasst sämtliche Möbius-Werte von 1 bis n. Insbesondere gilt μ(1) = 1 und damit M(1) = 1.

Das Ergebnis kann positiv, null oder negativ sein und ist als exakter arithmetischer Wert zu verstehen, nicht als Wahrscheinlichkeit oder Näherung. Diese kumulierte Größe spielt in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle, weil sie multiplikative Strukturen mit Auslöschungseffekten in arithmetischen Folgen verbindet.

Wie der Rechner das exakte Ergebnis bestimmt

Die Implementierung erzeugt die Möbius-Werte mit einem linearen Sieb in aufsteigender Reihenfolge. Trifft das Sieb auf eine Primzahl, weist es ihr den Möbius-Wert -1 zu. Für jede zuvor gefundene Primzahl wird anschließend das Produkt mit der aktuellen Zahl betrachtet.

Teilt diese Primzahl die aktuelle Zahl bereits, enthält das Produkt einen quadratischen Primfaktor, erhält den Möbius-Wert null und die Verarbeitung dieser Zahl endet. Andernfalls erhält das Produkt den negierten Möbius-Wert der aktuellen Zahl. Jede zusammengesetzte Zahl wird über ihren kleinsten Primfaktor behandelt, sodass der Aufwand proportional zur gewählten Obergrenze bleibt.

Jeder neu bestimmte Wert wird sofort zur laufenden Summe addiert. Es kommen keine Gleitkommaformeln zum Einsatz und kein Wert wird geschätzt. Der Algorithmus ist deterministisch, läuft lokal und liefert eine ganze Zahl mit Vorzeichen.

Die Eingabeprüfung weist Brüche, nicht endliche Zahlen sowie Werte außerhalb der veröffentlichten Grenzen zurück, bevor die Siebfelder angelegt werden.

Eingaben wählen und die Antwort auswerten

Die Antwort wiederholt das akzeptierte n und nennt den zugehörigen Mertens-Wert im Feld mertens, sodass automatisierte Aufzeichnungen eindeutig bleiben. Eine Folge von Abfragen mit steigenden Grenzen eignet sich beispielsweise dazu, die Schwankungen von M(n) darzustellen, eine Lehrbuchtabelle durch eine unabhängige Berechnung zu prüfen oder eine andere Implementierung für Möbius-Werte zu testen. Deuten Sie ein einzelnes positives oder negatives Ergebnis nicht als Beleg für einen dauerhaften Trend.

Die Funktion oszilliert mit den angesammelten Beiträgen, und theoretisch relevant sind ihr Verhalten über Bereiche sowie asymptotische Schranken. Benötigen Sie mehrere Werte, speichern Sie jedes zurückgegebene Paar oder berechnen Sie aufsteigende Prüfpunkte, statt μ(n) allein aus M(n) ohne Vergleich mit M(n - 1) abzuleiten.