Calcolatore della funzione di Mertens
Sommi la funzione di Möbius da 1 a n in un solo passaggio: M(100) vale 1, il bilancio esatto con segno tra i numeri liberi da quadrati con un numero pari e dispari di fattori primi. Vale per qualsiasi n fino a 5.000.000. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 100
- Funzione di Mertens
- 1
Il calcolatore della funzione di Mertens restituisce M(n), la somma progressiva della funzione di Möbius da 1 fino a un intero positivo n. Consente di osservare direttamente come si bilanciano, in un intervallo iniziale, gli interi privi di fattori quadratici con un numero pari o dispari di fattori primi distinti. Inserisca n per ottenere il risultato intero esatto mediante un crivello lineare deterministico. Il calcolo non usa campionamenti casuali, servizi esterni o tabelle memorizzate; pertanto, la stessa immissione valida produce sempre la stessa risposta.
Che cosa misura la funzione di Mertens
La funzione di Mertens è definita da M(n) = μ(1) + μ(2) + ... + μ(n), dove μ è la funzione di Möbius. Per un intero positivo k, μ(k) è zero se il quadrato di un numero primo divide k. Negli altri casi, μ(k) vale 1 se k ha un numero pari di fattori primi distinti e -1 se tale numero è dispari.
La somma progressiva registra quindi un equilibrio con segno tra gli interi privi di fattori quadratici, mentre quelli che contengono fattori primi ripetuti non danno alcun contributo. Questo calcolatore include entrambi gli estremi: un valore n richiede tutti i valori di Möbius da 1 fino a n. In particolare, μ(1) vale 1 e quindi M(1) vale 1.
Il risultato può essere positivo, nullo o negativo e va interpretato come valore aritmetico esatto, non come probabilità o approssimazione. Questa quantità cumulativa ricorre nella teoria analitica dei numeri perché collega la struttura moltiplicativa ai fenomeni di cancellazione nelle successioni aritmetiche.
Come viene ottenuto il risultato esatto
L’implementazione usa un crivello lineare per costruire i valori di Möbius in ordine crescente. Quando incontra un primo, gli assegna il valore di Möbius -1. Per ogni primo già scoperto considera poi il prodotto con l’intero corrente.
Se quel primo divide già l’intero corrente, il prodotto contiene un fattore primo quadrato, riceve valore di Möbius zero e l’elaborazione di quell’intero termina. In caso contrario, al prodotto viene assegnato il valore di Möbius opposto a quello dell’intero corrente. Ogni composto è trattato tramite il suo fattore primo minimo, mantenendo il lavoro proporzionale al limite scelto.
Ogni nuovo valore viene aggiunto immediatamente al totale progressivo. Non si usano formule in virgola mobile e nessun valore è stimato. L’algoritmo è deterministico, opera localmente e restituisce un intero con segno.
Prima di allocare gli array del crivello, la convalida rifiuta frazioni, numeri non finiti, valori inferiori a uno e valori oltre il limite pubblicato.
Come scegliere l’input e leggere la risposta
La risposta ripete il valore n accettato e riporta il relativo valore di Mertens nel campo mertens, rendendo comprensibili anche le registrazioni automatizzate. Una serie di chiamate con limiti crescenti può servire, per esempio, a tracciare le oscillazioni di M(n), confrontare una tabella didattica con un calcolo indipendente oppure verificare codice che genera i valori di Möbius con un metodo diverso. Non interpreti un solo risultato positivo o negativo come prova di una tendenza duratura.
La funzione oscilla mentre i contributi si accumulano e il suo interesse teorico riguarda l’andamento su intervalli e i limiti asintotici. Se occorrono più valori, conservi ogni coppia restituita o calcoli punti di controllo crescenti, senza presumere che M(n) riveli μ(n) senza confrontarlo con M(n - 1).
Casi d'uso
Controllare un esercizio di teoria dei numeri
Confermi una somma progressiva esatta di Möbius dopo aver ricavato a mano i singoli valori.
Convalidare un’implementazione del crivello
Confronti punti di controllo noti con i risultati di un altro crivello di Möbius o dei fattori primi.
Esplorare la cancellazione aritmetica
Raccolga M(n) in corrispondenza di limiti scelti per studiarne oscillazioni e cambiamenti di segno.
Domande frequenti
La somma comprende n?
Sì. Il calcolo include tutti gli interi da 1 fino a n, compresi entrambi gli estremi.
Il risultato è approssimativo?
No. Un crivello intero deterministico calcola ogni valore di Möbius usato, quindi il risultato è esatto.
Quanto vale M(100)?
M(100) vale 1. Sommando i valori di Möbius di tutti gli interi da 1 a 100 resta un bilancio di uno: i numeri liberi da quadrati con un numero pari di fattori primi sono avanti di uno.
Che cosa conta la funzione di Möbius?
Assegna 0 a ogni numero divisibile per il quadrato di un primo. Gli altri ricevono 1 se hanno un numero pari di fattori primi distinti e −1 se è dispari. M(n) somma questi valori e può essere positiva, nulla o negativa.
Fino a quale valore di n posso calcolare?
Qualsiasi intero da 1 a 5.000.000. Frazioni e valori minori di 1 vengono rifiutati. Più n è grande, più numeri vanno classificati, per questo esiste il limite.
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Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":100}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":100}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 100
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.mertens_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_n | 5000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come scegliere l’input e leggere la risposta
Fornisca n come intero JSON compreso tra 1 e 5,000,000 inclusi. Un n maggiore richiede più tempo e memoria, poiché il calcolatore deve classificare ogni intero fino a quel limite; il tetto dichiarato mantiene il costo circoscritto sia nel browser sia tramite API.
Domande tecniche
Che cos’è la funzione di Mertens?
È la somma progressiva M(n) = Σ(k=1..n) μ(k), dove μ indica la funzione di Möbius.
Che cosa accade se n è minore di uno?
La richiesta non riesce e restituisce invalid_input, perché il calcolatore richiede un limite intero positivo.
Quanto costa un calcolo tramite API?
Ogni richiesta API costa $0.002. Il calcolatore è disponibile gratuitamente anche nel browser.