ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة دالة ميرتنز

اجمع دالة موبيوس من 1 إلى n دفعة واحدة: M(100) تساوي 1، وهي الفرق الدقيق بإشارته بين الأعداد الخالية من المربعات ذات العدد الزوجي والفردي من العوامل الأولية. تعمل لأي n حتى 5000000. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 100

تحصل على

دالة مرتنس: 1

تعيد حاسبة دالة ميرتنز القيمة M(n)، أي المجموع التراكمي لدالة موبيوس من 1 إلى عدد صحيح موجب n. وتتيح فحص التوازن مباشرة بين الأعداد الخالية من المربعات التي لها عدد زوجي أو فردي من العوامل الأولية المختلفة ضمن مجال ابتدائي. أدخل n لتحصل على نتيجة صحيحة دقيقة بواسطة منخل خطي حتمي. لا يعتمد الحساب على أخذ عينات عشوائية أو خدمة خارجية أو جدول مخزن، ولذلك تعطي المدخلة الصالحة نفسها النتيجة ذاتها في كل مرة.

ما الذي تقيسه دالة ميرتنز

تُعرّف دالة ميرتنز بالصيغة M(n) = μ(1) + μ(2) + ... + μ(n)، حيث ترمز μ إلى دالة موبيوس. لأي عدد صحيح موجب k، تكون μ(k) مساوية للصفر إذا كان مربع عدد أولي يقسم k. وفي غير ذلك تكون μ(k) مساوية لـ1 عندما يكون لدى k عدد زوجي من العوامل الأولية المختلفة، وتساوي -1 عندما يكون هذا العدد فرديا.

لذلك يسجل المجموع التراكمي توازنا ذا إشارة بين الأعداد الخالية من المربعات، بينما لا تسهم الأعداد التي تحتوي على عوامل أولية مكررة. تشمل هذه الحاسبة الحدين معا؛ فإدخال n يعني جمع جميع قيم موبيوس من 1 إلى n. وبوجه خاص، μ(1) = 1، ومن ثم M(1) = 1.

قد تكون النتيجة موجبة أو صفرا أو سالبة، وينبغي قراءتها بوصفها قيمة حسابية دقيقة لا احتمالا ولا تقريبا. وتظهر هذه الكمية التراكمية في نظرية الأعداد التحليلية لأنها تصل البنية الضربية بمسائل الإلغاء في المتتاليات الحسابية.

كيف تصل الحاسبة إلى نتيجة دقيقة

يستخدم التنفيذ منخلا خطيا لبناء قيم موبيوس بترتيب تصاعدي. عندما يعثر المنخل على عدد أولي، يسند إليه قيمة موبيوس -1. ثم ينظر، لكل عدد أولي اكتُشف سابقا، في حاصل ضربه في العدد الصحيح الحالي.

إذا كان ذلك العدد الأولي يقسم العدد الحالي بالفعل، فإن حاصل الضرب يحتوي على عامل أولي مربع، فتكون قيمة موبيوس له صفرا وتنتهي معالجة ذلك العدد. وإلا يحصل الناتج على القيمة المعاكسة لإشارة قيمة موبيوس للعدد الحالي. يُعالج كل عدد مركب من خلال أصغر عامل أولي له، مما يبقي مقدار العمل متناسبا مع الحد المختار.

وتضاف كل قيمة جديدة إلى المجموع التراكمي فور تحديدها. لا تدخل صيغ الفاصلة العائمة في الحساب ولا تُقدّر أي قيمة. الخوارزمية حتمية وتعمل محليا وتعيد عددا صحيحا ذا إشارة.

ويرفض التحقق الكسور والأعداد غير المنتهية والقيم الأقل من واحد أو التي تتجاوز الحد المنشور قبل تخصيص مصفوفات المنخل.

اختيار المدخلة وفهم الاستجابة

تكرر الاستجابة قيمة n المقبولة وتعرض قيمة ميرتنز المقابلة في الحقل mertens، وبذلك تظل السجلات الآلية واضحة بذاتها. يمكن مثلا استخدام سلسلة من الطلبات ذات الحدود المتزايدة لرسم تقلبات M(n)، أو مقارنة جدول تعليمي بحساب مستقل، أو التحقق من برنامج يولد قيم موبيوس بطريقة أخرى. لا تعتبر نتيجة موجبة أو سالبة منفردة دليلا على اتجاه دائم.

تتذبذب الدالة مع تراكم المساهمات، وينصب الاهتمام النظري على سلوكها عبر المجالات وحدودها التقاربية. إذا احتجت إلى عدة قيم، فاحتفظ بكل زوج معاد أو احسب نقاط تحقق متصاعدة بدلا من افتراض أن M(n) تكشف μ(n) من دون مقارنتها بـM(n - 1).

حالات الاستخدام

مراجعة تمرين في نظرية الأعداد

تحقق من مجموع موبيوس تراكمي دقيق بعد اشتقاق القيم الفردية يدويا.

التحقق من تنفيذ منخل

قارن نقاط تحقق معروفة بنتائج منخل آخر لموبيوس أو للعوامل الأولية.

استكشاف الإلغاء الحسابي

اجمع قيم M(n) عند حدود مختارة لدراسة تقلباتها وتغيرات إشارتها.

الأسئلة الشائعة

هل يشمل المجموع n؟

نعم. يشمل الحساب كل عدد صحيح من 1 إلى n، مع تضمين الحدين.

هل النتيجة تقريبية؟

لا. يحسب منخل أعداد صحيحة حتمي كل قيمة موبيوس مستخدمة في المجموع، ولذلك فالنتيجة دقيقة.

كم تساوي M(100)؟

M(100) تساوي 1. عند جمع قيم موبيوس لكل الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100 يتبقى فرق قدره واحد، أي أن الأعداد الخالية من المربعات ذات العدد الزوجي من العوامل الأولية تتقدم بواحد.

ماذا تعدّ دالة موبيوس؟

تعطي 0 لكل عدد يقبل القسمة على مربع عدد أولي. ويأخذ كل عدد آخر 1 إذا كان عدد عوامله الأولية المختلفة زوجيًا و−1 إذا كان فرديًا. وتجمع M(n) هذه القيم، فقد تكون موجبة أو صفرًا أو سالبة.

ما أكبر قيمة مسموح بها لـ n؟

أي عدد صحيح من 1 إلى 5000000. تُرفض الكسور والقيم الأقل من 1. وكلما كبر n زاد عدد الأعداد التي يجب تصنيفها، ولهذا يوجد هذا الحد.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":100}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 100
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 100
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":100}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":100}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/mertens-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 100
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.mertens_function",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_n 5000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

اختيار المدخلة وفهم الاستجابة

قدّم n على هيئة عدد صحيح في JSON بين 1 و5,000,000 شاملين. تتطلب القيمة الأكبر لـn وقتا وذاكرة أكثر لأن الحاسبة تصنف كل عدد صحيح حتى ذلك الحد؛ ويحافظ السقف المعلن على كلفة محدودة في المتصفح وعبر API.

أسئلة تقنية

ما دالة ميرتنز؟

هي المجموع التراكمي M(n) = Σ(k=1..n) μ(k)، حيث ترمز μ إلى دالة موبيوس.

ماذا يحدث إذا كانت n أقل من واحد؟

يفشل الطلب بخطأ invalid_input لأن هذه الحاسبة تتطلب حدا صحيحا موجبا.

ما تكلفة الحساب عبر API؟

يكلف كل طلب API مقدار $0.002. ويمكن أيضا تشغيل الحاسبة مجانا في المتصفح.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما الذي تقيسه دالة ميرتنز

كيف تصل الحاسبة إلى نتيجة دقيقة

اختيار المدخلة وفهم الاستجابة

حالات الاستخدام

مراجعة تمرين في نظرية الأعداد

التحقق من تنفيذ منخل

استكشاف الإلغاء الحسابي

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

اختيار المدخلة وفهم الاستجابة

أسئلة تقنية

شكرًا