Calcolatore della funzione di Liouville
λ(12) vale −1, perché 12 è 2 × 2 × 3, cioè tre fattori primi contando le ripetizioni. Inserisca un intero positivo per ottenere 1 se il conteggio è pari o −1 se è dispari, con il conteggio in vista per controllarlo. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 12
- Funzione di Liouville
- -1
- Fattori primi con molteplicità
- 3
Il calcolatore della funzione di Liouville valuta λ(n) per ogni intero positivo supportato contando i fattori primi con molteplicità. Ogni primo ripetuto conta di nuovo: per esempio, i tre fattori di 12 = 2 × 2 × 3 danno un totale dispari e quindi −1. Il calcolatore riporta anche tale conteggio, così Lei può verificare facilmente il segno. Il calcolo è deterministico, non richiede accesso alla rete e considera λ(1) uguale a 1, perché uno non ha fattori primi.
Che cosa misura la funzione di Liouville
La funzione di Liouville associa un segno aritmetico compatto a ogni intero positivo. Scriva n come prodotto di primi e indichi con Ω(n) il numero di fattori del prodotto, mantenendo le ripetizioni. Allora λ(n) = (−1)<sup>Ω(n)</sup>.
Un numero pari di fattori primi produce 1, mentre un numero dispari produce −1. La molteplicità è essenziale. L’intero 18 si fattorizza come 2 × 3 × 3, quindi Ω(18) è tre, non due, e λ(18) è −1.
Al contrario, 12 × 3 = 36 si fattorizza come 2 × 2 × 3 × 3, con quattro fattori e valore 1. Il calcolatore restituisce sia il segno sia la molteplicità contata, rendendo il risultato verificabile. Non confonde Ω(n) con il numero di primi distinti, di solito indicato con ω(n), che darebbe una risposta errata quando un primo viene ripetuto.
Come calcolare λ(n)
Inserisca un intero n maggiore o uguale a 1. Il calcolatore divide ripetutamente per 2, poi prova i divisori dispari in ordine crescente. Ogni divisione esatta incrementa il conteggio della molteplicità, comprese le divisioni ripetute per lo stesso primo.
Quando il quoziente rimanente non ha più alcun possibile divisore minore o uguale alla propria radice quadrata, un eventuale quoziente maggiore di uno è l’ultimo fattore primo e aggiunge un’unità. Gli input inferiori a uno vengono rifiutati perché questa capacità è definita solo per interi positivi. Anche frazioni, valori non numerici e interi oltre il limite pubblicato vengono respinti, senza arrotondamenti o approssimazioni silenziose.
Nell’intervallo supportato l’aritmetica intera è esatta e non dipende da casualità, orologio, servizi esterni o stato memorizzato; pertanto input validi identici producono sempre risultati identici.
Uso del risultato nella teoria dei numeri
I valori di Liouville sono utili quando conta la parità della molteplicità prima totale. Poiché Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b), la funzione è completamente moltiplicativa: λ(ab) = λ(a)λ(b), anche se a e b condividono fattori primi. Questa proprietà agevola la verifica di calcoli manuali, la costruzione di tabelle di funzioni aritmetiche, il controllo di identità e la preparazione di esempi su serie di Dirichlet o funzioni sommatorie.
Un esperimento sulle successioni può chiamare la capacità per ogni intero positivo e accumulare i segni restituiti per studiare somme parziali. In ambito didattico, il conteggio mostrato accanto al segno evidenzia perché i primi ripetuti siano importanti.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di fattorizzazione
Controlli se la molteplicità prima totale è pari o dispari e confronti il conteggio con il Suo calcolo.
Creare una tabella di funzioni aritmetiche
Valuti interi positivi consecutivi e memorizzi un valore deterministico di λ(n) per ogni riga.
Verificare identità moltiplicative
Confronti λ(ab) con λ(a)λ(b) nello studio o nell’insegnamento delle funzioni completamente moltiplicative.
Domande frequenti
Che cos’è la funzione di Liouville?
È λ(n) = (−1) elevato a Ω(n), dove Ω(n) conta i fattori primi con molteplicità.
Quanto vale λ(1)?
Vale 1. L’intero 1 ha zero fattori primi, e zero è pari.
I fattori primi ripetuti contano più volte?
Sì. In 12 = 2 × 2 × 3, entrambe le occorrenze di 2 contano, quindi Ω(12) è tre.
Perché i valori inferiori a uno vengono rifiutati?
Questa capacità accetta solo il dominio standard degli interi positivi, quindi n deve essere almeno 1.
La funzione di Liouville è moltiplicativa?
Sì, completamente. Il valore di un prodotto è il prodotto dei valori, anche quando i due numeri hanno fattori primi in comune, perché i conteggi dei fattori si sommano. Per esempio, 12 dà −1 e 3 dà −1, quindi 36 dà 1.
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Per sviluppatori — accesso via API
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Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
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-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", {
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 12
}Esempio di risposta
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"type": "numth.liouville_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
min_n | 1 |
max_n | 1000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Che cosa misura la funzione di Liouville
Per n = 1, la fattorizzazione è vuota, Ω(1) è zero e il risultato è 1.
Come calcolare λ(n)
Il campo prime_factors_with_multiplicity corrisponde a Ω(n), mentre liouville vale 1 se il conteggio è pari e −1 se è dispari.
Uso del risultato nella teoria dei numeri
Il calcolatore restituisce intenzionalmente un piccolo oggetto JSON stabile, così i sistemi automatici possono usare direttamente il segno e conservare il conteggio di supporto. Ogni richiesta API costa $0.002, mentre l’esecuzione nel browser impiega lo stesso calcolo puro. La capacità valuta un solo n per richiesta; se Lei necessita di un intervallo, deve iterarlo esplicitamente e conservare ogni input con il relativo risultato.
Domande tecniche
Quanto costa una richiesta API?
Ogni richiesta API costa $0.002. Lo stesso calcolo deterministico può essere eseguito anche nel browser.