Calculateur de la fonction de Liouville
λ(12) vaut −1, car 12 s’écrit 2 × 2 × 3, soit trois facteurs premiers comptés avec répétition. Saisissez un entier positif pour obtenir 1 si ce compte est pair ou −1 s’il est impair, avec le compte affiché pour vérifier. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 12
- Fonction de Liouville
- -1
- Facteurs premiers avec multiplicité
- 3
Le calculateur de la fonction de Liouville évalue λ(n) pour tout entier positif pris en charge en comptant ses facteurs premiers avec multiplicité. Chaque facteur répété compte à nouveau : les trois facteurs de 12 = 2 × 2 × 3 forment ainsi un total impair et donnent −1. Le calculateur indique aussi ce total afin que vous puissiez vérifier le signe. Le calcul est déterministe, sans accès au réseau, et pose λ(1) = 1 car un ne possède aucun facteur premier.
Ce que mesure la fonction de Liouville
La fonction de Liouville associe un signe arithmétique concis à chaque entier positif. Écrivez n comme un produit de nombres premiers et notez Ω(n) le nombre de facteurs de ce produit en conservant les répétitions. Alors λ(n) = (−1)<sup>Ω(n)</sup>.
Un nombre pair de facteurs premiers donne 1, tandis qu’un nombre impair donne −1. La multiplicité est essentielle. L’entier 18 se factorise en 2 × 3 × 3 : Ω(18) vaut donc trois, et non deux, et λ(18) vaut −1.
À l’inverse, 12 × 3 = 36 se factorise en 2 × 2 × 3 × 3, soit quatre facteurs et une valeur égale à 1. Le calculateur renvoie le signe ainsi que la multiplicité comptée pour rendre le résultat vérifiable. Il ne confond pas Ω(n) avec le nombre de facteurs premiers distincts, généralement noté ω(n), qui donnerait une réponse erronée lorsqu’un premier est répété.
Comment calculer λ(n)
Saisissez un entier n supérieur ou égal à 1. Le calculateur extrait d’abord toutes les occurrences du facteur 2, puis teste les diviseurs impairs par ordre croissant. Chaque division exacte augmente le compteur de multiplicité, y compris les divisions répétées par le même nombre premier.
Lorsque le quotient restant n’a plus de diviseur possible inférieur ou égal à sa racine carrée, tout quotient supérieur à un constitue un dernier facteur premier et ajoute une unité. Les valeurs inférieures à un sont refusées, car cette capacité ne traite que les entiers positifs. Les fractions, valeurs non numériques et entiers dépassant la limite publiée sont également rejetés sans arrondi silencieux.
Dans la plage admise, l’arithmétique entière est exacte et ne dépend ni du hasard, ni de l’horloge, ni d’un service externe, ni d’un état conservé. Deux entrées valides identiques produisent donc toujours le même résultat.
Exploiter le résultat en théorie des nombres
Les valeurs de Liouville sont utiles dès que la parité de la multiplicité première totale intervient. Puisque Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b), la fonction est complètement multiplicative : λ(ab) = λ(a)λ(b), même si a et b ont des facteurs premiers communs. Cette propriété facilite la vérification de calculs manuels, la création de tables de fonctions arithmétiques, le contrôle d’identités et la préparation d’exemples sur les séries de Dirichlet ou les fonctions sommatoires.
Une étude de suite peut appeler la capacité pour chaque entier positif et cumuler les signes afin d’analyser des sommes partielles. Dans un cours, le compteur affiché près du signe souligne le rôle des facteurs répétés. Une requête évalue un seul n ; pour une plage, vous devez effectuer explicitement l’itération et conserver chaque paire entrée-résultat.
Cas d’usage
Vérifier un exercice de factorisation
Déterminez si la multiplicité première totale est paire ou impaire et comparez le compte à votre calcul.
Créer une table de fonctions arithmétiques
Évaluez des entiers positifs successifs et enregistrez une valeur déterministe de λ(n) par ligne.
Tester des identités multiplicatives
Comparez λ(ab) à λ(a)λ(b) lors de l’étude ou de l’enseignement des fonctions complètement multiplicatives.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la fonction de Liouville ?
C’est λ(n) = (−1) élevé à Ω(n), où Ω(n) compte les facteurs premiers avec multiplicité.
Que vaut λ(1) ?
Sa valeur est 1. L’entier 1 possède zéro facteur premier, et zéro est pair.
Les facteurs premiers répétés comptent-ils plusieurs fois ?
Oui. Dans 12 = 2 × 2 × 3, les deux occurrences de 2 comptent, donc Ω(12) vaut trois.
Pourquoi les valeurs inférieures à un sont-elles refusées ?
Cette capacité accepte uniquement le domaine standard des entiers positifs ; n doit donc valoir au moins 1.
La fonction de Liouville est-elle multiplicative ?
Oui, complètement. La valeur d’un produit est le produit des valeurs, même si les deux nombres partagent des facteurs premiers, car les comptes de facteurs s’additionnent. Par exemple, 12 donne −1 et 3 donne −1, donc 36 donne 1.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
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-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", {
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"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
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}Exemple de réponse
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"status": "queued",
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"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
min_n | 1 |
max_n | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que mesure la fonction de Liouville
Pour n = 1, la factorisation est vide, Ω(1) vaut zéro et le résultat est 1.
Comment calculer λ(n)
Le champ prime_factors_with_multiplicity correspond à Ω(n), et liouville vaut 1 si ce total est pair ou −1 s’il est impair.
Exploiter le résultat en théorie des nombres
Le calculateur renvoie volontairement un petit objet JSON stable plutôt qu’un texte, afin qu’un traitement automatique puisse utiliser le signe tout en gardant le compte justificatif. Chaque requête API coûte $0.002 et l’exécution dans le navigateur repose sur le même calcul pur.
Questions techniques
Combien coûte une requête API ?
Chaque requête API coûte $0.002. Le même calcul déterministe peut aussi être exécuté dans le navigateur.