Calculadora da função de Liouville
λ(12) vale −1, porque 12 é 2 × 2 × 3, três fatores primos contando as repetições. Digite qualquer inteiro positivo e receba 1 se a contagem for par ou −1 se for ímpar, com a contagem à vista para conferir. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 12
- Função de Liouville
- -1
- Fatores primos com multiplicidade
- 3
A calculadora da função de Liouville avalia λ(n) para qualquer inteiro positivo aceito, contando seus fatores primos com multiplicidade. Cada primo repetido conta novamente: por exemplo, os três fatores de 12 = 2 × 2 × 3 formam uma quantidade ímpar e resultam em −1. A calculadora também informa essa contagem para que você possa conferir o sinal. O cálculo é determinístico, não exige rede e considera λ(1) igual a 1 porque um não tem fatores primos.
O que a função de Liouville mede
A função de Liouville associa um sinal aritmético compacto a cada inteiro positivo. Escreva n como produto de primos e use Ω(n) para representar a quantidade de fatores desse produto, mantendo as repetições. Assim, λ(n) = (−1)<sup>Ω(n)</sup>.
Uma quantidade par de fatores primos produz 1; uma quantidade ímpar produz −1. A multiplicidade é indispensável. O inteiro 18 é 2 × 3 × 3, portanto Ω(18) é três, e não dois, e λ(18) é −1.
Já 12 × 3 = 36 é 2 × 2 × 3 × 3, com quatro fatores e valor 1. A calculadora retorna o sinal e a multiplicidade contada, deixando o resultado verificável. Ela não confunde Ω(n) com a quantidade de primos distintos, normalmente indicada por ω(n), que daria uma resposta errada quando um primo se repete.
Como calcular λ(n)
Informe um inteiro n maior ou igual a 1. A calculadora divide repetidamente por 2 e depois testa divisores ímpares em ordem crescente. Cada divisão exata aumenta a contagem de multiplicidade, inclusive divisões repetidas pelo mesmo primo.
Quando o quociente restante não tem divisor possível menor ou igual à sua raiz quadrada, qualquer quociente maior que um é um último fator primo e acrescenta uma unidade. Entradas menores que um são recusadas porque esta capacidade é definida apenas para inteiros positivos. Frações, valores não numéricos e inteiros acima do limite publicado também são recusados, sem arredondamento ou aproximação silenciosa.
A implementação usa aritmética inteira exata no intervalo aceito e não depende de escolhas aleatórias, relógio, serviços externos ou estado armazenado. Assim, entradas válidas idênticas sempre geram resultados idênticos.
Como usar o resultado em teoria dos números
Os valores de Liouville são úteis sempre que importa a paridade da multiplicidade prima total. Como Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b), a função é completamente multiplicativa: λ(ab) = λ(a)λ(b), mesmo quando a e b compartilham fatores primos. Essa propriedade ajuda a conferir cálculos manuais, montar tabelas de funções aritméticas, testar identidades e preparar exemplos com séries de Dirichlet ou funções somatórias.
Um experimento com sequências pode executar a capacidade para cada inteiro positivo e acumular os sinais retornados para estudar somas parciais. Em uma atividade didática, a contagem exibida ao lado do sinal evidencia por que primos repetidos importam. A capacidade avalia um n por solicitação.
Se você precisar de um intervalo, percorra-o explicitamente e mantenha cada entrada associada ao respectivo resultado.
Casos de uso
Conferir um exercício de fatoração
Verifique se a multiplicidade prima total é par ou ímpar e compare a contagem com seu cálculo.
Montar uma tabela de funções aritméticas
Avalie inteiros positivos sucessivos e armazene um valor determinístico de λ(n) em cada linha.
Testar identidades multiplicativas
Compare λ(ab) com λ(a)λ(b) ao estudar ou ensinar funções completamente multiplicativas.
Perguntas frequentes
O que é a função de Liouville?
É λ(n) = (−1) elevado a Ω(n), em que Ω(n) conta fatores primos com multiplicidade.
Qual é o valor de λ(1)?
É 1. O inteiro 1 tem zero fatores primos, e zero é par.
Fatores primos repetidos contam mais de uma vez?
Sim. Em 12 = 2 × 2 × 3, as duas ocorrências de 2 contam, então Ω(12) é três.
Por que valores menores que um são recusados?
Esta capacidade aceita apenas o domínio padrão dos inteiros positivos; portanto, n deve ser no mínimo 1.
A função de Liouville é multiplicativa?
Sim, completamente. O valor de um produto é o produto dos valores, mesmo quando os números têm fatores primos em comum, porque as contagens de fatores se somam. Por exemplo, 12 dá −1 e 3 dá −1, então 36 dá 1.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/liouville-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 12
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.liouville_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
min_n | 1 |
max_n | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a função de Liouville mede
Para n = 1, a fatoração é vazia, Ω(1) é zero e o resultado é 1.
Como calcular λ(n)
O campo prime_factors_with_multiplicity corresponde a Ω(n), e liouville vale 1 quando a contagem é par ou −1 quando é ímpar.
Como usar o resultado em teoria dos números
A calculadora retorna de propósito um objeto JSON pequeno e estável, permitindo que sistemas usem o sinal diretamente e preservem a contagem como evidência. Cada solicitação de API custa US$ 0,002; a execução no navegador emprega o mesmo cálculo puro.
Perguntas técnicas
Quanto custa uma solicitação de API?
Cada solicitação de API custa US$ 0,002. O mesmo cálculo determinístico também pode ser executado no navegador.