Calculadora de cototiente: n menos o totiente de Euler

O cototiente de um inteiro positivo n é n menos o totiente de Euler phi(n). Ele conta os inteiros de 1 até n que não são coprimos com n, incluindo o próprio n. Esta calculadora fornece o valor exato por meio de aritmética determinística com fatores primos, sem amostragem aleatória, aproximação de ponto flutuante ou serviço externo. Informe um inteiro positivo para conferir um exercício de teoria dos números, observar como fatores comuns alteram a contagem ou incluir uma etapa confiável de cototiente em um fluxo automatizado.

O que o cototiente mede

O totiente de Euler phi(n) conta os inteiros positivos não maiores que n que são coprimos com n, ou seja, cujo máximo divisor comum com n é um. O cototiente fornece a contagem complementar: n menos phi(n). Portanto, ele conta os valores do mesmo intervalo que compartilham algum fator com n.

O próprio n entra nesse complemento porque gcd(n, n) é n, e não um; para n igual a um, porém, a definição produz cototiente zero. Quando p é primo, todos os inteiros positivos menores que p são coprimos com ele, então phi(p) é p menos um e o cototiente vale um. Números compostos normalmente têm cototientes maiores, pois os múltiplos de seus fatores primos ocupam o intervalo.

Por exemplo, phi(12) é quatro, logo o cototiente de 12 é oito. Essa interpretação ajuda em problemas sobre resíduos não coprimos, frações reduzidas excluídas ou o complemento de uma contagem de totiente. A resposta traz o n normalizado e o cototiente em um objeto compacto, deixando o resultado principal claro para pessoas e programas.

Como o cálculo exato é feito

A implementação primeiro verifica se n é um inteiro entre um e o limite máximo publicado. Em seguida, fatora n por divisão experimental determinística, removendo o fator dois antes de testar divisores ímpares. Cada fator primo distinto p atualiza o totiente corrente pela forma inteira da fórmula do produto de Euler: divide o valor atual por p e multiplica por p menos um.

Potências repetidas do mesmo primo são removidas antes de prosseguir, pois cada primo distinto aparece apenas uma vez no produto. Se restar um cofator primo depois da divisão, o algoritmo executa uma atualização final. O cototiente é obtido subtraindo de n esse valor exato de phi.

Todos os valores aceitos ficam na faixa de inteiros seguros do JavaScript e cada etapa permanece inteira, portanto o resultado não depende de arredondamento. Não há chamada de rede, escolha aleatória, hora atual nem cache mutável.

Quando usar esta calculadora

Use a calculadora do navegador para valores individuais ao estudar teoria elementar dos números, conferir o complemento de phi(n) ou comparar entradas primas e compostas. O teto de um trilhão mantém a divisão experimental limitada e o tempo prático para este motor analítico simples; a capacidade não foi criada para fatorar inteiros de tamanho criptográfico nem substituir software especializado em números grandes. Lembre-se de que cototiente significa aqui exatamente n menos o totiente de Euler, e não uma lista de valores não coprimos ou uma probabilidade.

Em integrações estáveis, consuma diretamente o campo cototient e use as mensagens de validação apenas como diagnóstico, sem depender da redação exata delas para controlar o programa.