Totiente de Jordan J_k(n) desde factores primos

La función totiente de Jordan J_k(n) generaliza la totiente de Euler contando k-tuplas de enteros módulo n que generan un Z-módulo libre de rango k, o de forma equivalente mediante la fórmula producto n^k por el producto sobre los primos p que dividen a n de (1 menos p a la menos k). Cuando el orden k vale uno, J_1(n) recupera exactamente φ(n). Esta calculadora recibe un entero positivo n y un orden positivo k, factoriza n por división de prueba determinista y evalúa el producto clásico de potencias primas para obtener un entero exacto J_k(n) sin deriva en coma flotante ni servicios externos. Úsela para comprobar ejercicios, conteos de puntos de retícula y tuberías de teoría de números que confían en la aritmética exacta.

Qué mide la totiente de Jordan y por qué importa

La totiente de Euler φ(n) cuenta las clases de residuo módulo n coprimas con n. La función de Jordan eleva ese conteo a rango superior: J_k(n) es el número de k-tuplas de enteros en {1, …, n}^k relativamente primas como conjunto con n, en el sentido de que el máximo común divisor de las k coordenadas junto con n es uno.

De forma equivalente, es el orden del grupo de matrices invertibles k por k sobre el anillo de enteros módulo n reducibles a forma elemental, y aparece como el grado de la extensión del cuerpo ciclotómico al estudiar retículos y valores especiales de la zeta de Dedekind. Para una potencia prima p a la a la forma cerrada es p a la k por (a menos uno) por (p a la k menos uno), y la multiplicatividad sobre factores coprimos da el producto global.

Ingenieros y autores de concursos encuentran J_k al contar generadores libres de módulos, dimensionar grupos de unidades de anillos de matrices sobre Z/nZ o verificar identidades que se reducen a φ cuando k es uno. Devolver el valor de la totiente y la factorización que lo produjo elimina una fuente habitual de errores de desfase en correctores de ejercicios, comparaciones con CAS y tuberías enteras que de otro modo reimplementarían la factorización ad hoc en cada problema.

Cómo evalúa esta calculadora J_k(n) desde los factores primos

Invoque la capacidad con dos campos enteros positivos: n y k. La implementación factoriza n por división de prueba separando factores de dos, luego candidatos impares hasta la raíz cuadrada y, por último, cualquier cofactor primo restante. A partir de esa lista ordenada aplica la forma entera exacta del producto de Jordan: por cada potencia prima p a la a que divide a n, multiplica el resultado acumulado por p elevado a k por (a menos uno) por (p a la k menos uno).

Las potencias se calculan con enteros de precisión arbitraria para que los intermedios sean exactos; el resultado final debe caber en un entero seguro de JavaScript para que los clientes reciban un número simple. Cuando k vale uno, el mismo camino reproduce la fórmula producto de Euler, de modo que J_1(n) coincide con φ(n) para todo n admitido. La respuesta incluye n, k, jordan, la lista de factores como pares primo y exponente, y una cadena breve de fórmula para documentación.

Uso práctico, límites, precio y entrega

Use la herramienta del navegador cuando desee una respuesta inmediata al estudiar teoría de números multiplicativa, comprobar una identidad de libro que se especializa en la totiente de Euler o depurar un conteo de puntos de retícula. Los resultados son deterministas: el mismo n y k siempre producen el mismo valor jordan y la misma lista de factores. No hay modelo de lenguaje, ni servicio externo de factorización, ni aleatoriedad, de modo que la capacidad es segura para fijarla en pruebas automatizadas.

Conecte el extremo a demostraciones de teoría de números, entornos didácticos de criptografía que contrastan φ con conteos de Jordan de orden superior, o pasos de preprocesado entero donde ya confía en la aritmética exacta más que en heurísticas aproximadas y necesita un ítem con precio por cada par.