Calculateur de signature première

Une signature première décrit la forme de la factorisation d’un entier sans conserver les bases premières. Il suffit de factoriser le nombre, de recueillir les exposants positifs et de les trier par ordre décroissant. Ainsi, 360 vaut 2 au cube multiplié par 3 au carré et par 5, donc sa signature est [3, 2, 1]. Il convient lorsque la structure de la factorisation compte davantage que les nombres premiers concernés.

Ce que représente une signature première

Tout entier positif supérieur à un possède une factorisation première unique, à l’ordre d’écriture des facteurs près. Si n vaut p1 à la puissance e1, multiplié par p2 à la puissance e2, puis par les autres facteurs, sa signature première est le multiensemble des exposants e1, e2 et suivants, rangé par convention du plus grand au plus petit. Les bases disparaissent et seule demeure la forme multiplicative.

Ainsi, 12 vaut 2 au carré fois 3 et 18 vaut 2 fois 3 au carré ; tous deux ont la signature [2, 1], même si les exposants sont affectés à des bases différentes. En revanche, 64 a pour signature [6], car il s’agit d’une seule puissance première. Le tri est indispensable : il rend la représentation canonique et permet de comparer des signatures égales comme des tableaux identiques sans tenir compte de l’ordre des facteurs.

L’entier 1 ne possède aucun facteur premier et reçoit donc la signature vide [], conformément à la convention de factorisation vide. Le calculateur renvoie directement ce tableau canonique, un invariant compact qui ne révèle ni ne conserve les bases premières.

Comment saisir un nombre et lire la réponse

Indiquez n sous la forme d’un entier décimal positif. Un nombre entier ordinaire est accepté lorsqu’il appartient à la plage sûre de JavaScript ; une chaîne décimale reste préférable, car elle préserve exactement chaque chiffre et autorise des valeurs plus grandes dans la limite publiée de 18 chiffres. La réponse contient n normalisé sous forme de chaîne décimale et signature sous forme de tableau d’exposants entiers positifs en ordre décroissant.

Un nombre premier renvoie [1], une puissance première p à la puissance k renvoie [k], et un composé sans facteur carré renvoie une entrée 1 pour chaque facteur premier distinct. La valeur 1 produit un tableau vide. Une division d’essai déterministe extrait chaque exposant, puis un tri numérique décroissant forme le multiensemble canonique.

Aucun réseau, hasard ou horodatage ne peut modifier le résultat.

L’utilité des signatures en théorie des nombres

Les signatures premières regroupent les entiers selon leur schéma de factorisation. Cette approche sert à étudier les fonctions multiplicatives dont la valeur dépend uniquement des exposants, à construire des exemples de partitions, à classer les puissances parfaites ou à comparer des propriétés structurelles sans se soucier des nombres premiers présents. La fonction de comptage des diviseurs illustre ce principe : un entier de signature [e1, e2, ...] possède un nombre de diviseurs positifs égal au produit de chaque exposant augmenté de un.

Une signature indique aussi immédiatement si un nombre est premier, sans facteur carré, une puissance première, un carré parfait ou, plus généralement, une puissance k-ième parfaite, en examinant ses entrées. Le corps enseignant peut dissocier la factorisation du raisonnement sur les motifs d’exposants, tandis que les programmes de concours et les pipelines peuvent employer ce tableau compact comme clé de regroupement. Comme les bases sont volontairement omises, préférez un calculateur de factorisation si vous devez reconstruire n ou examiner ses diviseurs.