Primfaktoren mit Vielfachheit
Zählt jeden Primfaktor von n samt Wiederholungen: 12 ist 2 × 2 × 3, also ist Ω(12) gleich 3, während es nur 2 verschiedene Primfaktoren ω(12) gibt. Sie sehen auch die Primzahlpotenzen und können prüfen, dass die Exponenten aufgehen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 12
- Großes Omega
- 3
- Großes Omega
- 3
- Kleines Omega
- 2
Das große Omega Ω(n) zählt jeden Primfaktor einer positiven ganzen Zahl n mit Vielfachheit: wenn zwölf als zwei zum Quadrat mal drei faktorisiert, dann ist Ω(12) gleich drei, weil die Primzahlen zwei, zwei und drei sind. Dieser Rechner liefert diese Summe nach einer deterministischen Probe-Division-Faktorisierung sowie die geordneten Primzahlpotenzen und das kleine Omega ω(n) zum Vergleich. Studierende, Wettbewerbsprogrammierer und Pipeline-Autoren nutzen Ω(n), wenn sie die Länge der Multimenge der Primfaktoren brauchen, nicht die Teilerliste und nicht nur eine Faktorisierungsseite.
Großes Omega versus kleines Omega und Faktorisierung
Die Zahlentheorie unterscheidet zwei eng verwandte Zählungen. Das kleine Omega ω(n) ist die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren: die Größe des Trägers der Primfaktorzerlegung. Das große Omega Ω(n) ist die Gesamtzahl der Primfaktoren mit Vielfachheit: die Summe der Exponenten in derselben Zerlegung.
Für ein quadratfreies Produkt aus k verschiedenen Primzahlen stimmen beide Funktionen überein und ergeben k. Für eine Primzahlpotenz p hoch e ist das kleine Omega eins, das große Omega e. Für eins sind beide null nach den Konventionen leeres Produkt und leere Summe.
Suchende, die die Multimengengröße wollen, tippen oft Phrasen wie Primfaktorenanzahl mit Vielfachheit oder großes Omega von n; diese Absicht unterscheidet sich von einer vollständigen Faktorisierungstabelle oder nur der Zählung verschiedener Primzahlen. Diese Fähigkeit ist für diese Multimengenlängen-Frage gebaut. Sie liefert trotzdem die Faktorisierung, damit Sie prüfen können, dass die Exponentensumme dem gemeldeten Ω(n) entspricht, und das kleine Omega, damit Vergleiche nebeneinander kein zweites Werkzeug brauchen.
Der Algorithmus ist der klassische aus elementaren Zahlentheorie-Kursen: durch Probe-Division faktorisieren, dann die Exponenten addieren.
Wo Vielfachheits-Zählungen in realer Arbeit vorkommen
Wettbewerbsaufgaben fragen oft nach der Gesamtzahl der Primfaktoren im Multimengen-Sinn bei der Analyse der Prim-Omega-Funktion, bei hochzusammengesetzten Suchen oder den additiven Eigenschaften von Ω unter Multiplikation teilerfremder Argumente. Lehrkräfte stellen Übungen, die Ω und ω an derselben Liste ganzer Zahlen gegenüberstellen, und brauchen ein deterministisches Orakel, das Zwischen-Primzahlpotenzen zeigt. Kryptografie- und Codierungstheorie-Hausaufgaben nutzen manchmal die Gesamtexponentensumme als Komplexitätsmaß für Faktorisierungen in Spiel-Moduln.
Weil die Engine reiner Parse-Code ohne Modelldrift, Netzabhängigkeit und gespeicherten Zustand ist, liefert dasselbe n immer dieselbe Antwort. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Tool für schnelle Checks und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Massenprüfung nötig ist. Wenn Sie später die volle Teilerliste, die Teileranzahl τ(n) oder eine nur-Faktorisierungs-Landing mit anderem SEO-Rahmen brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchintentionen statt diese multiplizitätsfokussierte Seite zu überladen.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Olympiade-Checks
Prüfen Sie Ω(n) für Arbeitsblätter, die die Anzahl der Primfaktoren mit Vielfachheit verlangen, mit sichtbaren Primzahlpotenzen zur Kontrolle der Exponentensumme.
Kontrast zum kleinen Omega
Liefert großes und kleines Omega auf derselben Faktorisierung, damit Studierende und Pipelines Multimengenlänge und verschiedene Primzahlen ohne zweiten Aufruf vergleichen.
Häufige Fragen
Was ist das große Omega Ω(n)?
Ω(n) ist die Anzahl der Primfaktoren von n mit Vielfachheit. Wenn n = p1^e1 × … × pk^ek, dann Ω(n) = e1 + … + ek. Zum Beispiel Ω(12) = Ω(2²×3) = 3.
Worin unterscheidet sich Ω(n) vom kleinen Omega ω(n)?
Das kleine Omega ω(n) zählt verschiedene Primzahlen (k in der Zerlegung oben). Das große Omega summiert die Exponenten. Bei quadratfreiem n stimmen sie überein; bei Primzahlpotenzen weichen sie ab.
Warum ist Ω(1) gleich 0?
Konventionsgemäß hat die leere Primfaktorzerlegung eine leere Exponentensumme, daher sind Ω(1) und ω(1) null.
Wie groß ist Ω(n) für eine Primzahlpotenz?
Für eine Primzahl p hoch e ist Ω gleich e, weil dieselbe Primzahl e-mal gezählt wird, während ω gleich 1 ist. Eine einzelne Primzahl ergibt daher bei beiden Zählungen 1.
Wann sind Ω(n) und ω(n) gleich?
Wenn keine Primzahl mehrfach vorkommt, also bei einem Produkt aus k verschiedenen Primzahlen. Dann sind beide Werte gleich k. Sobald ein Primfaktor im Quadrat auftritt, ist Ω größer.
Was ergibt die Zahl 1?
Für 1 sind Ω und ω beide 0, und die Zerlegung bleibt leer. Die 1 hat keinen Primfaktor, also gibt es nichts zu zählen und keine Exponenten zu addieren.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-factor-multiplicity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-factor-multiplicity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-factor-multiplicity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-factor-multiplicity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-factor-multiplicity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 12
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.prime_factor_multiplicity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Sie senden eine positive ganze Zahl; ungültige Werte unter eins scheitern sofort mit invalid_input und werden nicht berechnet.
Was Sie senden und was die Antwort enthält
Geben Sie eine positive ganze Zahl n an. Die Aliasse number und value werden für Formular-Widgets und SDKs akzeptiert, die einen freundlicheren Feldnamen bevorzugen. Werte unter eins, Nicht-Ganzzahlen, leere Felder und Zahlen oberhalb des sicheren JavaScript-Ganzzahlmaximums werden mit invalid_input abgelehnt und verbrauchen kein Prepaid-Guthaben. Bei Erfolg enthält das JSON das normalisierte n, big_omega (und den Alias omega_big mit demselben Wert), little_omega als Anzahl verschiedener Primzahlen, factorization als aufsteigendes Array von Prim- und Exponenten-Objekten sowie eine kurze formula-Zeichenkette, die die verwendete Identität dokumentiert. Gelöste Checks: zwölf ergibt big_omega drei und little_omega zwei, weil zwei zum Quadrat mal drei drei Primfaktoren mit Vielfachheit und zwei verschiedene Primzahlen liefert; eine Primzahl p ergibt eins und eins; eine Potenz p hoch k ergibt k und eins; n gleich eins ergibt null und null mit leerer Faktorisierung. Der Preis erfolgreicher API-Items ist die veröffentlichte Basis von $0.002.
Wo Vielfachheits-Zählungen in realer Arbeit vorkommen
Daten- und CI-Pipelines bevorzugen einen stabilen JSON-Vertrag gegenüber einer Tabellenspalte, die jemand von Hand nachrechnet.
Integrationsbeispiele
Deterministische Pipeline-Fixtures
Rufen Sie denselben reinen Vertrag aus Skripten und CI auf, damit Ω(n)-Golden-Werte nie von einem gelegentlichen Webformular oder einer schwankenden Tabelle abhängen.
Technische Fragen
Welche Werte von n werden akzeptiert?
Ganzzahlen von 1 bis 9007199254740991 (Number.MAX_SAFE_INTEGER). Null, Negative, Dezimalzahlen und nichtnumerische Zeichenketten scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet.
Was kostet es?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorab bezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Item; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.