Premiers entre eux
8 et 15 sont premiers entre eux, car leur seul diviseur commun est 1, alors qu'aucun des deux n'est premier. Saisissez deux entiers pour obtenir leur plus grand commun diviseur et une réponse nette, oui ou non. Le signe ne compte pas. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 8
- B
- 15
- Gcd
- 1
Deux entiers sont premiers entre eux lorsqu'ils ne partagent aucun facteur commun supérieur à un. De façon équivalente, leur plus grand commun diviseur vaut exactement un. Ce vérificateur accepte une paire d'entiers, applique l'algorithme d'Euclide à leurs valeurs absolues et renvoie le gcd positif avec un booléen true seulement lorsque ce gcd vaut un. Utilisez-le lorsqu'une feuille d'exercices, une fraction irréductible ou une précondition d'inverse modulaire demande si deux entiers sont premiers entre eux.
Ce que « premiers entre eux » signifie et comment le gcd en décide
Deux entiers sont premiers entre eux, aussi appelés copremiers dans les textes ultérieurs de théorie des nombres, lorsque leur seul diviseur positif commun est un. C'est le même énoncé que gcd de a et b égal à un. Huit et quinze sont l'exemple de classe : les diviseurs positifs de huit sont un, deux, quatre et huit ; ceux de quinze sont un, trois, cinq et quinze ; les listes ne se rencontrent qu'en un, donc la paire est première entre elle.
Quatorze et vingt-et-un sont le contraste : tous deux sont divisibles par sept, donc ils ne sont pas premiers entre eux même si aucun n'est premier. L'identité utilisée ici est élémentaire et exacte. Prenez les valeurs absolues afin que les signes ne changent jamais la réponse, fournissez ces entiers non négatifs à l'algorithme d'Euclide et lisez le dernier reste non nul comme plus grand commun diviseur.
Zéro et cinq est une paire valide dont le gcd vaut cinq, donc l'indicateur est false. Zéro et un est une paire valide dont le gcd vaut un, donc l'indicateur est true. Zéro et zéro est refusé car le gcd de zéro et zéro est indéfini dans ce contrat et la primalité relative ne peut pas être tranchée.
Cette page répond à la recherche d'un vérificateur de premiers entre eux ; elle ne factorise pas un seul entier en nombres premiers et ne réduit pas un rapport a deux-points b, questions voisines qui ont leurs propres pages.
Où une vérification de premiers entre eux s'avère utile
Les élèves rencontrent des paires premières entre elles lorsqu'une fraction est déjà irréductible, lorsqu'un inverse modulaire existe parce que le coefficient et le module ne partagent aucun facteur supérieur à un, et lorsqu'une feuille demande si deux entiers donnés sont premiers entre eux. Les enseignants peuvent produire des corrigés sans se fier à une calculatrice opaque qui cache le gcd. L'entraînement aux concours a souvent besoin d'une source rapide hors ligne de réponses de gcd et de premiers entre eux afin de vérifier des solutions sans télécharger de tables.
Comme l'implémentation est du parse pur de tier A, il n'y a ni modèle, ni réseau sortant, ni horloge dans le chemin mathématique. Figez le gcd et le booléen dans les tests. Cette page s'adresse à qui cherche un calculateur de premiers entre eux, si deux nombres sont premiers entre eux, ou un vérificateur de gcd égal à un ; ce n'est pas un outil de factorisation en premiers ni un simplificateur de rapports.
Cas d’usage
Contrôle de fractions déjà irréductibles
Confirmez qu'un numérateur et un dénominateur ne partagent aucun facteur commun supérieur à un avant d'accepter une fraction comme déjà réduite.
Préconditions de l'inverse modulaire
Vérifiez qu'un coefficient et un module sont premiers entre eux afin qu'un inverse soit garanti dans les démonstrations d'arithmétique modulaire et les solutions de concours.
Questions fréquentes
Quand deux entiers sont-ils premiers entre eux ?
Lorsqu'ils ne partagent aucun facteur commun supérieur à un, ce qui revient à gcd(|a|,|b|) égal à un.
Que se passe-t-il si l'une des entrées n'est pas un entier ?
Fractions, notation scientifique, chaînes vides et valeurs non numériques sont refusées et ne sont pas facturées.
14 et 21 sont-ils premiers entre eux ?
Non. Les deux sont divisibles par 7, leur plus grand commun diviseur vaut donc 7 et non 1. Ce qui décide, c'est le facteur partagé par la paire, pas le fait que chaque nombre soit premier.
Les nombres négatifs sont-ils acceptés ?
Oui. Le signe est ignoré avant de chercher le plus grand commun diviseur : −8 et 15 donnent la même réponse que 8 et 15 et restent premiers entre eux.
Que se passe-t-il si l'un des deux nombres vaut zéro ?
Le zéro est accepté tant que l'autre nombre n'est pas nul. 0 et 1 sont premiers entre eux, mais pas 0 et 5, dont le plus grand commun diviseur est 5. Deux zéros sont refusés.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/relatively-prime \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":8,"b":15}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/relatively-prime", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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"b": 15
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/relatively-prime",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 8,
"b": 15
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/relatively-prime", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":8,"b":15}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":8,"b":15}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/relatively-prime", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 8,
"b": 15
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.relatively_prime",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs | 9007199254740991 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les non-entiers et la paire indéfinie zéro avec zéro échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés. Une requête API réussie coûte $0.002.
Ce que « premiers entre eux » signifie et comment le gcd en décide
Le booléen relatively_prime est true si et seulement si ce reste vaut un.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et validation des entiers
Les deux entrées égales à zéro constituent le seul refus mathématique : le gestionnaire lève une erreur au lieu d'inventer un gcd. Les entrées négatives sont admises et réduites par valeurs absolues, selon la convention habituelle selon laquelle le gcd est non négatif : moins huit et quinze restent premiers entre eux. Envoyez un corps JSON avec deux entiers obligatoires nommés a et b. Chaque champ peut arriver comme entier JSON ou comme chaîne décimale entière avec un signe plus ou moins initial facultatif. Les alias first et x sont acceptés pour a ; second et y sont acceptés pour b, afin que formulaires, tableurs et chaînes de requête réutilisent un seul contrat. Les champs manquants, les chaînes vides, les fractions, les espaces intégrés, la notation scientifique, les infinis et les valeurs hors de la plage des entiers sûrs échouent avec invalid_input et nomment le champ fautif. Ces échecs ne sont pas facturés. En cas de succès, le corps répète les entiers analysés a et b, indique gcd comme entier non négatif, fixe relatively_prime à true exactement lorsque ce gcd vaut un, et inclut une courte chaîne formula qui reformule l'identité gcd des valeurs absolues égal à un. Une requête API réussie est facturée au prix de base publié $0.002 avec l'unité item.
Où une vérification de premiers entre eux s'avère utile
Appariez les exemples de classe à dessein : huit et quinze produisent gcd un et relatively_prime true ; vingt-et-un et trente-cinq produisent gcd sept et relatively_prime false ; trois virgule cinq et neuf illustre le chemin invalid_input d'un non-entier. Les tâches en échec qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé. Le tarif de l'API demeure le forfait $0.002 par requête réussie.
Cas d'intégration
Fixtures de test déterministes
Générez des paires premières entre elles et non premières entre elles, reproductibles, pour tests unitaires, contrôles de propriétés et assertions de CI sans intégrer de tables statiques.
Questions techniques
Les entiers négatifs sont-ils admis ?
Oui. Les signes sont acceptés et le gcd est calculé sur les valeurs absolues, donc le gcd est toujours un entier non négatif et relatively_prime ne dépend que de cette valeur.
Que se passe-t-il si a et b valent tous deux zéro ?
La requête échoue avec invalid_input. gcd(0,0) est indéfini ici et la primalité relative ne peut pas être tranchée lorsque les deux entrées sont nulles.
Que coûte le vérificateur de premiers entre eux ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.