Triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien primitif est constitué de trois entiers positifs a, b et c qui vérifient a au carré plus b au carré égal à c au carré et ne partagent aucun facteur commun strictement plus grand que un. Le triangle familier 3-4-5 est le plus petit ; viennent ensuite 5-12-13 et 8-15-17. Ce générateur accepte une hypoténuse maximale et renvoie chaque triplet primitif dont l'hypoténuse ne dépasse pas cette borne, écrit comme tableau ordonné [a, b, c] avec a inférieur à b inférieur à c. Le moteur applique la formule d'Euclide avec des paramètres premiers entre eux et de parité opposée, de sorte que chaque primitif apparaît une seule fois et que les multiples non primitifs tels que 6-8-10 sont exclus. Étudiants, auteurs de concours et pipelines de géométrie s'en servent pour semer des problèmes, vérifier des triangles rectangles entiers et éviter des côtés en virgule flottante.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien primitif et comment la formule d'Euclide les énumère

Un triplet pythagoricien est un triple d'entiers positifs a, b et c qui satisfait la relation du triangle rectangle : a au carré plus b au carré égal à c au carré. Le triplet est primitif lorsque a, b et c ne partagent aucun diviseur commun plus grand que un, si bien que 3, 4, 5 est primitif tandis que 6, 8, 10 ne l'est pas, car ces côtés sont un multiple commun de 3, 4, 5.

La formule d'Euclide produit chaque triplet primitif exactement une fois : choisissez des entiers m plus grand que n plus grand que zéro, exigez que m et n soient premiers entre eux et de parité opposée, c'est-à-dire l'un pair et l'autre impair. Alors les côtés de l'angle droit et l'hypoténuse sont a égal à m au carré moins n au carré, b égal à deux m n, et c égal à m au carré plus n au carré.

Ce générateur ne conserve que les triplets dont l'hypoténuse est inférieure ou égale au maximum que vous fournissez, et renvoie toujours les côtés de l'angle droit par ordre croissant, de sorte que chaque ligne est le plus petit côté, le plus grand côté et l'hypoténuse. La liste est triée par hypoténuse croissante puis par le premier côté, ce qui rend la sortie stable pour les captures, les feuilles d'exercices et les tests dorés.

Rien n'est échantillonné au hasard et rien n'est lu dans une table : chaque paire m, n dans la borne est examinée uniquement par arithmétique entière. Les multiples k fois a, b, c avec k plus grand que un sont exclus à dessein ; si vous avez besoin de familles mises à l'échelle, multipliez un triplet primitif après l'avoir reçu.

Où un générateur de triplets primitifs justifie sa place

Enseignants et auteurs de concours utilisent un générateur de triplets pythagoriciens primitifs pour constituer des banques de problèmes de triangles rectangles à côtés entiers qui ne soient pas d'évidents multiples de 3-4-5. Les carnets de géométrie et de conception assistée par ordinateur ont besoin d'une liste compacte de directions primitives sur le réseau entier pour construire des coins orthogonaux exacts sans dérive en virgule flottante.

Les auteurs de défis de programmation ont besoin d'un oracle déterministe qui liste chaque primitif d'hypoténuse au plus N, afin que les tests cachés ne divergent pas des boucles imbriquées d'un étudiant. Les leçons de théorie des nombres présentent la formule d'Euclide puis demandent de lister les primitifs jusqu'à cinquante ou cent ; cette page est à la fois le corrigé et la démonstration en direct. Les maxima invalides ne consomment pas de solde.

Gardez le maximum modeste lorsque vous n'avez besoin que d'exemples de classe, figez les tableaux renvoyés dans les tests, et vous obtenez un catalogue reproductible de triplets primitifs sans dresser un système d'algèbre informatique ni copier des tables de suites à la main. Si vous avez besoin de l'hypoténuse d'un seul triangle, d'un solveur de côté manquant ou d'un contrôle oui ou non de triangle rectangle, utilisez ces outils dédiés : cette page ne répond qu'à la question d'énumérer les primitifs jusqu'à c.