Ternas pitagóricas
Liste todas las ternas pitagóricas primitivas hasta la hipotenusa que elija: hasta 25 hay cuatro, 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25, cada una con los catetos de menor a mayor. Los múltiplos como 6-8-10 quedan fuera. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Hipotenusa máxima
- 25
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Una terna pitagórica primitiva son tres enteros positivos a, b y c que cumplen a al cuadrado más b al cuadrado igual a c al cuadrado y no comparten ningún factor común mayor que uno. El triángulo conocido 3-4-5 es el más pequeño; le siguen 5-12-13 y 8-15-17. Este generador acepta una hipotenusa máxima y devuelve cada terna primitiva cuya hipotenusa no supera ese tope, escrita como arreglo ordenado [a, b, c] con a menor que b menor que c. El motor aplica la fórmula de Euclides con parámetros coprimos y de paridad opuesta, de modo que cada primitiva aparece una sola vez y se excluyen los múltiplos no primitivos como 6-8-10. Estudiantes, autores de concursos y canalizaciones de geometría usan la lista para sembrar problemas, comprobar triángulos rectángulos enteros y evitar lados en coma flotante.
Qué es una terna pitagórica primitiva y cómo la enumera la fórmula de Euclides
Una terna pitagórica es un triple de enteros positivos a, b y c que satisface la relación del triángulo rectángulo: a al cuadrado más b al cuadrado igual a c al cuadrado. La terna es primitiva cuando a, b y c no comparten ningún divisor común mayor que uno, de modo que 3, 4, 5 es primitiva y 6, 8, 10 no lo es, porque esos lados son un múltiplo común de 3, 4, 5.
La fórmula de Euclides produce cada terna primitiva exactamente una vez: elija enteros m mayor que n mayor que cero, exija que m y n sean coprimos y que tengan paridad opuesta, es decir, uno par y el otro impar. Entonces los catetos y la hipotenusa son a igual a m al cuadrado menos n al cuadrado, b igual a dos m n, y c igual a m al cuadrado más n al cuadrado.
Este generador conserva solo las ternas cuya hipotenusa es menor o igual que el máximo que usted indica, y siempre devuelve los catetos en orden creciente, de modo que cada fila es el cateto menor, el cateto mayor y la hipotenusa. La lista se ordena por hipotenusa creciente y luego por el primer cateto, lo que hace estable la salida para capturas, hojas de trabajo y pruebas doradas.
Nada se muestrea al azar y nada se consulta en una tabla: cada par m, n dentro del tope se examina solo con aritmética entera. Los múltiplos k veces a, b, c con k mayor que uno se excluyen a propósito; si necesita familias escaladas, puede multiplicar una terna primitiva después de recibirla.
Dónde un generador de ternas primitivas justifica su lugar
Los docentes y los autores de concursos usan un generador de ternas pitagóricas primitivas para construir bancos de problemas de triángulos rectángulos de lados enteros que no sean múltiplos evidentes de 3-4-5. Los cuadernos de geometría y de diseño asistido por computador necesitan una lista compacta de direcciones primitivas en la red entera para construir esquinas ortogonales exactas sin deriva de coma flotante.
Los autores de desafíos de programación necesitan un oráculo determinista que liste cada primitiva con hipotenusa a lo sumo N, de modo que las pruebas ocultas no discrepen con los bucles anidados de un estudiante. Las lecciones de teoría de números presentan la fórmula de Euclides y luego piden listar primitivas hasta cincuenta o cien; esta página es la clave de respuestas y la demostración en vivo en un solo sitio. Los máximos inválidos no consumen saldo.
Mantenga el máximo modesto cuando solo necesite ejemplos de aula, fije los arreglos devueltos en las pruebas y obtendrá un catálogo reproducible de ternas primitivas sin levantar un sistema de álgebra computacional ni copiar tablas de sucesiones a mano. Si necesita la hipotenusa de un solo triángulo, un resolutor de cateto faltante o una comprobación sí o no de triángulo rectángulo, use esas herramientas dedicadas: esta página responde solo a la pregunta de enumerar primitivas hasta c.
Qué puede hacer con ella
Claves de aula y hojas de ejercicios
Liste cada triángulo rectángulo entero primitivo con hipotenusa a lo sumo 25, 50 o 100 para que el alumnado compruebe ejercicios de la fórmula de Euclides sin copiar una tabla impresa.
Geometría exacta en la red entera
Siembre código CAD, de juego o de gráficos con direcciones primitivas (a, b, c) para que las esquinas ortogonales permanezcan en la red entera en lugar de derivar bajo raíces cuadradas en coma flotante.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una terna pitagórica primitiva?
Tres enteros positivos a, b y c con a² + b² = c² y gcd(a, b, c) = 1. La más pequeña es 3, 4, 5. Múltiplos como 6, 8, 10 son pitagóricos pero no primitivos.
¿Cómo encuentra el generador cada terna primitiva?
Solo se devuelven las ternas con c a lo sumo su máximo, cada una como [a, b, c] con a < b.
¿Por qué faltan 6, 8, 10 en la lista?
Porque es 2 × (3, 4, 5). Esta herramienta lista solo primitivas. Multiplique una terna devuelta por cualquier entero positivo k si necesita la familia escalada.
¿Qué ocurre si la hipotenusa máxima es 1, 2, 3 o 4?
La llamada tiene éxito y devuelve count 0 con un arreglo triples vacío. La hipotenusa primitiva más pequeña es 5.
¿Hasta qué hipotenusa máxima puedo pedir la lista?
Hasta diez mil. Dentro de ese límite se revisan todas las combinaciones posibles con aritmética entera, así que la lista sale completa y no depende del azar ni de ninguna tabla guardada.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
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}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_hypotenuse | 10000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Si el máximo no es un entero positivo, la tarea falla con invalid_input y no se factura; una llamada correcta cuesta $0.002.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y cómo fallan los máximos inválidos
Cuando el máximo es un entero válido menor que cinco, el resultado es un éxito con un arreglo triples vacío, porque la hipotenusa primitiva más pequeña es cinco, el triángulo 3-4-5. La validación fallida no se factura. No envíe una hipotenusa fraccionaria como veinticinco punto cinco ni una lista de lados a comprobar: este extremo enumera primitivas, no verifica si tres números dados ya forman un triángulo rectángulo. Combínelo con un comprobador de triángulo rectángulo si necesita la pregunta inversa, y fije los arreglos devueltos en las pruebas para que un cambio posterior de orden o filtro no pase inadvertido. Envíe un objeto JSON con el campo obligatorio max_hypotenuse, un entero positivo que es la hipotenusa más grande que desea permitir. Se aceptan los alias max, hypotenuse, c_max y limit para que formularios, cadenas de consulta y scripts reutilicen el mismo contrato. El valor puede llegar como entero JSON o como cadena de dígitos decimales; se admite un signo más inicial, pero las fracciones, la notación científica, los ceros, los negativos, las cadenas vacías y el texto no numérico se rechazan con invalid_input que nombra el campo. Hay un techo publicado de diez mil sobre la hipotenusa máxima para que la vía gratuita del navegador y el Worker de borde se mantengan en un presupuesto predecible de tiempo y memoria: la búsqueda es cuadrática en la raíz cuadrada de ese techo. El cuerpo de éxito repite max_hypotenuse, informa count y enumera las ternas como arreglos de tres enteros.
Dónde un generador de ternas primitivas justifica su lugar
Como la implementación es parse de nivel A puro, la herramienta del navegador es gratuita y cada llamada API correcta cuesta $0.002, sin tokens de modelo y sin red de salida.
Casos de integración
Oráculos de concurso y pruebas unitarias
Genere un catálogo determinista de ternas primitivas para pruebas ocultas, comprobaciones de propiedades y fixtures de desafíos de programación que no deben divergir entre jueces.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta el generador de ternas pitagóricas primitivas?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada correcta; la entrada inválida no se factura.