ثلاثيات فيثاغورس الأولية حتى وتر أقصى

ثلاثية فيثاغورس الأولية ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a وb وc تحقق a تربيعًا زائد b تربيعًا يساوي c تربيعًا ولا تشترك في أي عامل أكبر من واحد. المثلث المعروف 3-4-5 هو الأصغر؛ يليه 5-12-13 و8-15-17. يقبل هذا المولّد وترًا أقصى ويعيد كل ثلاثية أولية لا يتجاوز وترها ذلك الحد، مكتوبة كمصفوفة مرتبة [a, b, c] حيث a أصغر من b أصغر من c. يطبّق المحرك صيغة إقليدس بمعاملات أولية فيما بينها ومتعاكسة الزوجية، فتظهر كل أولية مرة واحدة وتُستبعد المضاعفات غير الأولية مثل 6-8-10. يستخدم الطلبة ومؤلفو المسابقات وخطوط هندسة القائمة لبذر المسائل والتحقق من مثلثات قائمة صحيحة الأضلاع وتجنب أضلاع الفاصلة العائمة.

ما ثلاثية فيثاغورس الأولية وكيف تسردها صيغة إقليدس

ثلاثية فيثاغورس ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a وb وc تحقق علاقة المثلث القائم: a تربيعًا زائد b تربيعًا يساوي c تربيعًا. تكون الثلاثية أولية عندما لا تشترك a وb وc في أي قاسم مشترك أكبر من واحد، لذا 3، 4، 5 أولية بينما 6، 8، 10 ليست كذلك لأن تلك الأضلاع مضاعف مشترك لـ 3، 4، 5.

تنتج صيغة إقليدس كل ثلاثية أولية مرة واحدة بالضبط: اختر عددين صحيحين m أكبر من n أكبر من صفر، واشترط أن يكون m وn أوليين فيما بينهما وأن تكون زوجيتهما متعاكسة، أي أحدهما زوجي والآخر فردي. عندئذ الضلعان القائمَان والوتر هما a يساوي m تربيعًا ناقص n تربيعًا، وb يساوي اثنين m n، وc يساوي m تربيعًا زائد n تربيعًا. يحتفظ هذا المولّد فقط بالثلاثيات التي وترها أصغر من الأقصى الذي تقدّمه أو يساويه، ويعيد الضلعين القائمين دائمًا بترتيب تصاعدي بحيث يكون كل صف الضلع الأصغر ثم الأكبر ثم الوتر.

تُرتَّب القائمة بوتر تصاعدي ثم بالضلع الأول، فيبقى الخرج مستقرًا للقطات وأوراق العمل والاختبارات الذهبية. لا يُسحب شيء عشوائيًا ولا يُستخرج من جدول: تُفحص كل زوج m وn داخل الحد بحساب صحيح فقط. تُستبعد عمدًا المضاعفات k في a وb وc عندما يكون k أكبر من واحد؛ وإن احتجت أسرًا مكبّرة فاضرب ثلاثية أولية بعد استلامها.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وكيف تفشل الحدود غير الصالحة

يوجد سقف منشور قدره عشرة آلاف للوتر الأقصى كي يبقى المسار المجاني في المتصفح وWorker الحافة داخل ميزانية زمن وذاكرة متوقعة: البحث تربيعي في الجذر التربيعي لذلك السقف. عندما يكون الأقصى عددًا صحيحًا صالحًا أصغر من خمسة تكون النتيجة نجاحًا بمصفوفة triples فارغة، لأن أصغر وتر أولي هو خمسة، مثلث 3-4-5. لا تُحاسب عملية التحقق الفاشلة.

لا ترسل وترًا كسريًا مثل خمسة وعشرين فاصلة خمسة ولا قائمة أضلاع للفحص: هذه النهاية تسرد الأوليات، ولا تختبر ما إذا كانت ثلاثة أعداد معطاة تشكّل أصلًا مثلثًا قائمًا. اقرنه بفاحص مثلث قائم إن احتجت السؤال العكسي، وثبّت المصفوفات المعادة في الاختبارات حتى لا يمرّ تغيير لاحق في الترتيب أو التصفية دون ملاحظة.

أين يستحق مولّد الثلاثيات الأولية مكانه

يستخدم المعلمون ومؤلفو المسابقات مولّد ثلاثيات فيثاغورس الأولية لبناء بنوك مسائل لمثلثات قائمة صحيحة الأضلاع ليست مضاعفات بديهية لـ 3-4-5. تحتاج دفاتر الهندسة والتصميم بمساعدة الحاسوب قائمة موجزة لاتجاهات أولية على الشبكة الصحيحة لبناء زوايا متعامدة دقيقة بلا انجراف فاصلة عائمة. يحتاج مؤلفو تحديات البرمجة أوراكلًا حتميًا يسرد كل أولية وترها على الأكثر N حتى لا تختلف الاختبارات المخفية عن حلقات الطالب المتداخلة.

تقدّم دروس نظرية الأعداد صيغة إقليدس ثم تطلب سرد الأوليات حتى خمسين أو مئة؛ وهذه الصفحة مفتاح الإجابات والعرض الحي في موضع واحد. لا تستهلك الحدود غير الصالحة الرصيد. أبقِ الأقصى متواضعًا عندما تحتاج أمثلة صف فقط، وثبّت المصفوفات المعادة في الاختبارات، فتحصل على فهرس قابل لإعادة الإنتاج من الثلاثيات الأولية دون إقامة نظام جبر حاسوبي أو نسخ جداول متتاليات يدويًا.

إن احتجت وتر مثلث واحد، أو حالّ ضلع قائم مفقود، أو فحص نعم أو لا لمثلث قائم، فاستخدم تلك الأدوات المخصصة: هذه الصفحة تجيب فقط عن سؤال سرد الأوليات حتى c.