مولّد ثلاثيات فيثاغورس
ينشئ ثلاثية فيثاغورس من عددين صحيحين، m أكبر من n، بصيغة إقليدس: اختيار 2 للعدد m و1 للعدد n يعطي المثلث 3-4-5. وترى أيضًا ما إذا كانت الثلاثية أولية مع التحقق من أن a² + b² = c². مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- M
- 2
- N
- 1
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 5
- ثلاثية
- 3, 4, 5
يمكن بناء كل حل صحيح لمعادلة a مربعاً زائد b مربعاً يساوي c مربعاً من زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة m أكبر من n وفق التمثيل البارامتري الكلاسيكي لإقليدس. يحتاج المعلّمون ومبرمجو المسابقات ومؤلفو المناهج إلى تلك الثلاثيات عند الطلب دون ضرب المربعات يدوياً أو الخلط بين أي ضلع قائم زوجي. يقبل مولّد ثلاثيات فيثاغورس هذا m و n، ويرفض القيم غير الموجبة وأي زوج لا يكون فيه m أكبر بصرامة من n، ويعيد الثلاثية a يساوي m مربعاً ناقص n مربعاً، و b يساوي اثنين m n، و c يساوي m مربعاً زائد n مربعاً، مع علامة أولية وفحص تحقق.
صيغة إقليدس ومعنى m و n
صيغة إقليدس هي المولّد البنائي القياسي لثلاثيات فيثاغورس في نظرية الأعداد الابتدائية. إذا أُعطي عددان صحيحان m و n بحيث m أكبر بصرامة من n وكلاهما موجب، فضع a مساوياً لـ m مربعاً ناقص n مربعاً، و b مساوياً لضعف حاصل m في n، و c مساوياً لـ m مربعاً زائد n مربعاً. يُظهر توسع قصير أن a مربعاً زائد b مربعاً يساوي c مربعاً تطابقاً، فكل زوج صالح يعطي ثلاثية مثلث قائم حقيقية بأضلاع صحيحة.
البذرة الصفّية الكلاسيكية هي m يساوي اثنين و n يساوي واحداً، فتُنتج المثلث المألوف ثلاثة-أربعة-خمسة: a يساوي ثلاثة و b أربعة و c خمسة. رفع m إلى ثلاثة مع n يساوي اثنين يعطي خمسة-اثني عشر-ثلاثة عشر؛ و m يساوي أربعة و n واحداً يعطي خمسة عشر-ثمانية-سبعة عشر. عندما يكون m و n أوليين فيما بينهما ومتعاكسي الزوجية — أحدهما زوجي والآخر فردي — تكون الثلاثية الناتجة أولية: لا تشترك الأضلاع الثلاثة في قاسم مشترك أكبر من واحد.
إذا اشترك m و n في عامل، أو كان كلاهما فردياً، تبقى الثلاثية صحيحة لكنها مكبّرة: مثلاً m يساوي ثلاثة و n واحداً وكلاهما فردي يعطي ثمانية-ستة-عشرة، أي ضعف ثلاثة-أربعة-خمسة. تعيد هذه القدرة دائماً ثلاثية إقليدس الخام للمعاملات التي تقدّمونها؛ ولا تعيد القياس ولا تبدّل الساقين ولا تبحث عن مولّد من وتر هدف. تختارون m و n؛ فيحسب الخدمة a و b و c ويُبلغ إن كانت الثلاثية أولية وفق المعيار القياسي.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الأخطاء
يجب أن يكون كلا المعاملين أكبر بصرامة من الصفر؛ تُرفض الصفر أو السوالب لأن صيغة إقليدس تُصاغ لمولّدات موجبة. إضافةً إلى ذلك يجب أن يكون m أكبر بصرامة من n — إذا ساوى m قيمة n ينهار a إلى صفر والشكل ليس مثلثاً، وإذا كان m أصغر من n تُنتهك الصيغة المرتبة المعتادة.
عند النجاح يعيد الجسم m و n، ويعيد أضلاعاً صحيحة a و b و c، ويتضمن مصفوفة triple بالترتيب [a, b, c]، وعلامة primitive منطقية، و check منطقي بأن a مربعاً زائد b مربعاً يساوي c مربعاً عندما تبقى تلك المربعات ضمن نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة، وسلسلة formula تعيد صياغة الهويات. التحقق الفاشل لا يُفوتر. مثال: m يساوي اثنين و n واحداً يعطي a ثلاثة و b أربعة و c خمسة و primitive true.
مثال: m يساوي ستة و n ثلاثة يعطي a سبعة وعشرين و b ستة وثلاثين و c خمسة وأربعين و primitive false لأن المولّدين يشتركان في عامل ثلاثة.
أين يثبت مولّد ثلاثيات فيثاغورس جدواه
تستخدم الصفوف ومنصات الدروس الخصوصية مولّد ثلاثيات فيثاغورس ليكتشف المتعلمون عائلات المثلثات القائمة دون أخطاء حسابية في المربعات والجداءات. يحتاج مدرّبو الأولمبياد والمسابقات إلى بذر مسائل بثلاثيات أولية وإلى وحي حتمي يعلّم أزواج المولّدات غير الصالحة بدل إعادة ثلاثية منحلة بساق صفرية بصمت. تستفيد مواقع المحتوى التي تتنافس على مولّد ثلاثيات فيثاغورس من ودجة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتاً ببايت على الوحدة النقية نفسها.
يمكن لمولّدات المناهج أن تمسح m و n في حلقات متداخلة، وتتخطى الأزواج غير الأولية عند الحاجة، وتجمع قوائم أوتار لأوراق العمل. الإدخال غير الصالح لا يستهلك الرصيد. اجعلوا m و n معتدلين لنطاقات الصف، وثبّتوا مصفوفات الثلاثيات المتوقعة في الاختبارات، فتحصلون على أضلاع صحيحة قابلة للتكرار للواجبات وإضافات LMS وعمال الحافة دون إقامة مكدس جبر حاسوبي خاص بكم.
حالات الاستخدام
استكشاف صفّي للمثلثات القائمة
دعوا الطلاب يختارون m و n ويرون a و b و c فوراً ويكتشفون متى تكون الثلاثية أولية مقابل مضاعف مكبّر لثلاثية أصغر.
بذر مسائل المسابقات
ولّدوا عائلات مثلثات قائمة بأضلاع صحيحة للأولمبياد ومسابقات البرمجة بوحي إقليدي حتمي.
أدوات الألعاب والمناهج
أنتجوا أطوالاً صحيحة للساقين والوتر لخرائط البلاط وتصميم المسارات أو أوراق عمل مولّدة آلياً دون جداول ثلاثيات تُصان يدوياً.
الأسئلة الشائعة
كيف يعمل مولّد ثلاثيات فيثاغورس؟
أرسلوا عددين صحيحين موجبين m و n مع m > n.
ماذا يحدث إذا لم يكن m أكبر من n؟
تتطلب صيغة إقليدس m > n > 0؛ المعاملات المتساوية أو المعكوسة تُرفض ولا تُفوتر.
متى تكون الثلاثية أولية؟
عندما gcd(m, n) = 1 ويكون لـ m و n زوجية متعاكسة (أحدهما زوجي والآخر فردي). وإلا تظل a و b و c ثلاثية صالحة لكنها تشترك في عامل مشترك.
ما قيمتا m وn اللتان تعطيان المثلث 5-12-13؟
استخدم 3 للعدد m و2 للعدد n. عندها m² − n² تساوي 5، و2mn تساوي 12، وm² + n² تساوي 13، ولأن 3 و2 لا يشتركان في عامل وأحدهما زوجي فالثلاثية أولية.
لماذا يعطي العددان 3 و1 الثلاثية 8-6-10؟
لأن العددين فرديان، فتنتج الصيغة ثلاثية مكبرة: 8-6-10 هي 3-4-5 مضروبة في اثنين. تبقى مثلثًا قائمًا صحيحًا، لكنها لا تُوسم بأنها أولية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-triple-generator \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"m":2,"n":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-triple-generator", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"m": 2,
"n": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-triple-generator",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"m": 2,
"n": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-triple-generator", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"m":2,"n":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"m":2,"n":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-triple-generator", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"m": 2,
"n": 1
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pythagorean_triple_generator",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
الدالة النقية نفسها تغذي ودجة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مسبقاً، فلا تختلف مراجعة الواجبات واختبارات الأتمتة أبداً حول عائلة ثلاثة-أربعة-خمسة أو أقاربها الأكبر.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الأخطاء
أرسلوا عبر POST كائن JSON يحتوي عددين صحيحين موجبين مطلوبين: m و n. قد يصل كل حقل كعدد JSON أو كسلسلة أرقام فقط؛ السلاسل الفارغة والحقول الناقصة وغير الصحيحة والقيم غير المنتهية تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل. تنطبق حدود الأعداد الصحيحة الآمنة: لا يجوز أن يكون m كبيراً بحيث يخرج m مربعاً عن نطاق IEEE-754 الدقيق، ويجب أن تبقى a و b و c المحسوبة أعداداً صحيحة آمنة. اقرنوا JSON برمز رسمكم الخاص إن احتجتم مثلثاً قائماً مرسوماً؛ هذه النقطة الطرفية تُصدر الثلاثية العددية والبيانات الوصفية فقط.
أين يثبت مولّد ثلاثيات فيثاغورس جدواه
يحتاج مؤلفو الألعاب والرسوم أحياناً إلى مثلثات قائمة بأضلاع صحيحة لأبعاد البلاط أو أطوال المسارات أو قيود تصميم المستويات؛ استدعاء API صغير من نوع parse يجنب تضمين جداول ثلاثيات مرتجلة. ولأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 دون رموز نموذج ودون شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
هل الثلاثة-أربعة-خمسة مشمولة؟
نعم. استخدموا m = 2 و n = 1 للحصول على a = 3 و b = 4 و c = 5 مع primitive true — ثلاثية فيثاغورس الأولية الأساسية.
كم يكلف مولّد ثلاثيات فيثاغورس؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.