Ternos pitagóricos
Liste todos os ternos pitagóricos primitivos até a hipotenusa que você escolher: até 25 são quatro, 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e 7-24-25, cada um com os catetos em ordem crescente. Múltiplos como 6-8-10 ficam de fora. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Hipotenusa máxima
- 25
- Quantidade
- 4
Um terno pitagórico primitivo são três inteiros positivos a, b e c que satisfazem a ao quadrado mais b ao quadrado igual a c ao quadrado e não compartilham nenhum fator comum maior que um. O triângulo conhecido 3-4-5 é o menor; em seguida vêm 5-12-13 e 8-15-17. Este gerador aceita uma hipotenusa máxima e devolve cada terno primitivo cuja hipotenusa não ultrapassa esse limite, escrito como array ordenado [a, b, c] com a menor que b menor que c. O motor aplica a fórmula de Euclides com parâmetros coprimos e de paridade oposta, de modo que cada primitivo aparece exatamente uma vez e múltiplos não primitivos como 6-8-10 ficam de fora. Estudantes, autores de competições e pipelines de geometria usam a lista para semear problemas, conferir triângulos retângulos inteiros e evitar lados em ponto flutuante.
O que é um terno pitagórico primitivo e como a fórmula de Euclides os lista
Um terno pitagórico é um triplo de inteiros positivos a, b e c que satisfaz a relação do triângulo retângulo: a ao quadrado mais b ao quadrado igual a c ao quadrado. O terno é primitivo quando a, b e c não compartilham nenhum divisor comum maior que um, de modo que 3, 4, 5 é primitivo e 6, 8, 10 não é, porque esses lados são um múltiplo comum de 3, 4, 5.
A fórmula de Euclides produz cada terno primitivo exatamente uma vez: escolha inteiros m maior que n maior que zero, exija que m e n sejam coprimos e que tenham paridade oposta, ou seja, um par e o outro ímpar. Então os catetos e a hipotenusa são a igual a m ao quadrado menos n ao quadrado, b igual a dois m n, e c igual a m ao quadrado mais n ao quadrado.
Este gerador conserva apenas os ternos cuja hipotenusa é menor ou igual ao máximo que você informa, e sempre devolve os catetos em ordem crescente, de modo que cada linha é o cateto menor, o cateto maior e a hipotenusa. A lista é ordenada por hipotenusa crescente e depois pelo primeiro cateto, o que torna a saída estável para capturas, planilhas e testes dourados. Nada é amostrado ao acaso e nada é consultado em uma tabela: cada par m, n dentro do limite é examinado só com aritmética inteira.
Múltiplos k vezes a, b, c com k maior que um são excluídos de propósito; se você precisar de famílias escaladas, pode multiplicar um terno primitivo depois de recebê-lo.
Onde um gerador de ternos primitivos justifica o seu lugar
Professores e autores de competições usam um gerador de ternos pitagóricos primitivos para montar bancos de problemas de triângulos retângulos de lados inteiros que não sejam múltiplos óbvios de 3-4-5. Cadernos de geometria e de projeto assistido por computador precisam de uma lista compacta de direções primitivas na rede inteira para construir cantos ortogonais exatos sem deriva de ponto flutuante.
Autores de desafios de programação precisam de um oráculo determinístico que liste cada primitivo com hipotenusa no máximo N, para que testes ocultos não discordem dos laços aninhados de um estudante. Aulas de teoria dos números apresentam a fórmula de Euclides e depois pedem para listar primitivos até cinquenta ou cem; esta página é o gabarito e a demonstração ao vivo no mesmo lugar. Máximos inválidos não consomem saldo.
Mantenha o máximo modestamente baixo quando precisar só de exemplos de sala, fixe os arrays devolvidos nos testes e você obtém um catálogo reproduzível de ternos primitivos sem levantar um sistema de álgebra computacional nem copiar tabelas de sequências à mão. Se você precisa da hipotenusa de um único triângulo, de um resolvedor de cateto faltante ou de um sim-ou-não de triângulo retângulo, use essas ferramentas dedicadas: esta página responde apenas à pergunta de enumerar primitivos até c.
Casos de uso
Gabaritos de aula e folhas de exercício
Liste cada triângulo retângulo inteiro primitivo com hipotenusa no máximo 25, 50 ou 100 para que os alunos confiram exercícios da fórmula de Euclides sem copiar uma tabela impressa.
Geometria exata na rede inteira
Alimente código CAD, de jogo ou de gráficos com direções primitivas (a, b, c) para que cantos ortogonais permaneçam na rede inteira em vez de derivar sob raízes quadradas em ponto flutuante.
Perguntas frequentes
O que é um terno pitagórico primitivo?
Três inteiros positivos a, b e c com a² + b² = c² e gcd(a, b, c) = 1. O menor é 3, 4, 5. Múltiplos como 6, 8, 10 são pitagóricos, mas não primitivos.
Como o gerador encontra cada terno primitivo?
Só voltam ternos com c no máximo o seu teto, cada um como [a, b, c] com a < b.
Por que 6, 8, 10 não aparecem na lista?
Porque é 2 × (3, 4, 5). Esta ferramenta lista apenas primitivos. Multiplique um terno devolvido por qualquer inteiro positivo k se precisar da família escalada.
O que acontece se a hipotenusa máxima for 1, 2, 3 ou 4?
A chamada tem sucesso e devolve count 0 com um array triples vazio. A menor hipotenusa primitiva é 5.
Até que hipotenusa máxima posso pedir a lista?
Até dez mil. Dentro desse limite todas as combinações possíveis são verificadas com aritmética inteira, então a lista sai completa e não depende de sorteio nem de nenhuma tabela guardada.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pythagorean-triples \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"max_hypotenuse":25}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pythagorean-triples", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"max_hypotenuse": 25
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pythagorean-triples",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"max_hypotenuse": 25
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pythagorean-triples", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"max_hypotenuse":25}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"max_hypotenuse":25}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pythagorean-triples", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"max_hypotenuse": 25
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pythagorean_triples",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_hypotenuse | 10000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Se o máximo não for um inteiro positivo, a tarefa falha com invalid_input e não é cobrada; uma chamada bem-sucedida custa US$ 0,002.
Contrato de entrada, forma da resposta e como máximos inválidos falham
Quando o máximo é um inteiro válido menor que cinco, o resultado é um sucesso com um array triples vazio, porque a menor hipotenusa primitiva é cinco, o triângulo 3-4-5. Validação falha não é cobrada. Combine-o com um verificador de triângulo retângulo se precisar da pergunta inversa, e fixe os arrays devolvidos nos testes para que uma mudança posterior de ordenação ou filtro não passe despercebida. Envie um objeto JSON com o campo obrigatório max_hypotenuse, um inteiro positivo que é a maior hipotenusa que você deseja permitir. Os alias max, hypotenuse, c_max e limit são aceitos para que formulários, query strings e scripts reutilizem o mesmo contrato. O valor pode chegar como inteiro JSON ou como string de dígitos decimais; um sinal de mais inicial é permitido, mas frações, notação científica, zeros, negativos, strings vazias e texto não numérico são rejeitados com invalid_input que nomeia o campo. Há um teto publicado de dez mil sobre a hipotenusa máxima para que o caminho gratuito do navegador e o Worker de borda fiquem dentro de um orçamento previsível de tempo e memória: a busca é quadrática na raiz quadrada desse teto. O corpo de sucesso ecoa max_hypotenuse, informa count e lista os ternos como arrays de três inteiros. Não envie uma hipotenusa fracionária como vinte e cinco ponto cinco nem uma lista de lados a verificar: este endpoint enumera primitivos, não testa se três números dados já formam um triângulo retângulo.
Onde um gerador de ternos primitivos justifica o seu lugar
Como a implementação é parse de nível A puro, a ferramenta do navegador é gratuita e cada chamada API bem-sucedida custa US$ 0,002, sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Oráculos de competição e testes unitários
Gere um catálogo determinístico de ternos primitivos para testes ocultos, verificações de propriedades e fixtures de desafios de programação que não devem divergir entre juízes.
Perguntas técnicas
Quanto custa o gerador de ternos pitagóricos primitivos?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.