Ternas pitagóricas a partir de um cateto
Digite um cateto de um triângulo retângulo e receba todos os triângulos inteiros que o compartilham: um cateto de 20 tem quatro parceiros, de 20-15-25 a 20-99-101. Cada terna vem marcada como primitiva ou múltipla, em ordem pelo outro cateto. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Leg
- 20
- Quantidade
- 4
Uma terna pitagórica é uma tripla de inteiros positivos (a, b, c) que satisfazem a² + b² = c² — os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo de lados inteiros. Em sala de aula, em olimpíadas e na geração de triângulos de exemplo costuma-se partir de um único cateto conhecido e perguntar quais parceiros inteiros completam a equação. Esta capacidade recebe o comprimento de um cateto e devolve cada terna correspondente: o cateto fixo, cada outro cateto compatível, a hipotenusa e se a terna é primitiva.
O que significam ternas pitagóricas com um cateto fixo
Quando você fixa um cateto a de um triângulo retângulo e exige que o outro cateto b e a hipotenusa c também sejam inteiros positivos, está pedindo todas as soluções de a² + b² = c² com esse a mantido constante. A menor terna desse tipo é a familiar família 3-4-5; todo cateto inteiro de três ou mais aparece em pelo menos uma terna, às vezes em várias.
Algumas soluções são primitivas — gcd(a, b, c) igual a um — enquanto outras são múltiplos inteiros de uma terna menor, como 6-8-10 a partir de 3-4-5. Os manuais podem pedir só o parceiro primitivo, mas problemas de construção, ângulos retos exatos em pixels e caminhos inteiros em reticulado costumam precisar da lista completa. Enumerar à mão significa buscar b tal que a² + b² seja um quadrado perfeito, o que fica trabalhoso à medida que a cresce e é fácil perder um parceiro intermediário.
Automatizar a busca mantém a lista completa, ordenada e pronta para o próximo passo de um pipeline, uma correção de lição de casa ou um gerador de dados geométricos de amostra.
Como a capacidade encontra cada terna correspondente
Algebricamente, a² + b² = c² reescreve-se como c² − b² = a², ou (c − b)(c + b) = a². O motor percorre então cada par de divisores positivos (d, e) de a² com d = c − b, e = c + b, d menor que e, e d e e com a mesma paridade para que b e c saiam inteiros: b é (e − d) dividido por dois e c é (e + d) dividido por dois.
Cada par válido vira a terna (a, b, c) com a igual ao cateto solicitado; o motor também registra se gcd(a, b, c) é um, para que você distinga ternas primitivas das escaladas sem um segundo passo. Não há aleatoriedade, dependência de relógio nem chamada de rede.
Casos de uso
Conferência de lições e olimpíadas
Confira a lista completa de ternas inteiras de um aluno para um cateto dado frente a uma resposta canônica, inclusive quais entradas são primitivas.
Ângulos retos em reticulado e CAD
Escolha parceiros inteiros de outro cateto e hipotenusa para um comprimento fixo, para que desenhos, grades ou trajetórias de ferramenta mantenham ângulos retos pitagóricos exatos sem erro de ponto flutuante.
Perguntas frequentes
Por que o cateto precisa ser pelo menos três?
Nenhuma terna pitagórica de inteiros positivos tem cateto 1 ou 2.
Quais ternas do cateto 20 são primitivas?
Duas das quatro: 20-21-29 e 20-99-101, cujos três lados não têm divisor comum. As outras duas, 20-15-25 e 20-48-52, são múltiplos inteiros de triângulos menores.
O que significa primitiva na lista?
Uma terna é primitiva quando seus três lados não têm divisor comum além do 1. A terna 6-8-10 não é, porque é apenas 3-4-5 multiplicada por dois.
Qual o tamanho máximo do cateto?
Qualquer inteiro de 3 até um milhão. Valores menores que 3, decimais e qualquer coisa acima do teto são recusados com uma mensagem clara, em vez de gerar uma lista incompleta.
Como ele encontra todos os catetos parceiros?
Reescreve a² + b² = c² como (c − b)(c + b) = a² e testa cada par de divisores de a² com a mesma paridade. Cada par gera um triângulo inteiro, então nenhum fica de fora.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":20}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"leg": 20
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"leg": 20
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":20}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"leg": 20
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pythagorean_from_leg",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como a capacidade encontra cada terna correspondente
Você envia um corpo JSON com um único campo obrigatório leg, um inteiro positivo de pelo menos três e no máximo um milhão. Os resultados são ordenados pelo outro cateto crescente e depois pela hipotenusa, de modo que pedidos idênticos produzem sempre a mesma ordem JSON. Entrada inválida — leg ausente, não inteiro, valor abaixo de três ou acima do teto publicado — falha com invalid_input e nunca é cobrada.
Onde usar e quanto custa
Usos típicos incluem validar respostas de alunos que listam todas as compleições inteiras de a² + b² = c² para um a fixo, gerar triângulos retângulos primitivos e não primitivos para demos de geometria, semear pares de coordenadas inteiras para gráficos ou trajetórias CNC que precisam de ângulos retos exatos, e documentar a família completa de triângulos retângulos no reticulado que compartilham um lado dado. O caminho do navegador roda localmente e não exige conta. Use a ferramenta gratuita do navegador quando quiser uma lista rápida para um único cateto, ou chame a API quando um script, um diário de notas ou um job de dados precisar resolver muitos catetos da mesma forma todas as vezes. O uso da API debita o saldo pré-pago do KIT ao preço base publicado US$ 0,002 por solicitação bem-sucedida; validação com falha não consome saldo. Mantenha leg dentro dos limites documentados para que a varredura de fatores sobre a² permaneça previsível, e trate count e is_primitive como campos de primeira classe em vez de rederivá-los em código cliente que possa divergir deste contrato.
Casos de integração
Geradores de triângulos retângulos de amostra
Passe catetos sucessivos pela API para montar bibliotecas de triângulos de lados inteiros para demos, fichas ou questionários aleatórios com respostas exatas.
Perguntas técnicas
Como listo as ternas pitagóricas que usam um cateto dado?
Faça POST de um corpo JSON com o campo inteiro leg (pelo menos 3). A resposta inclui count e um array de ternas {a, b, c, is_primitive}.
O que significa is_primitive na resposta?
Uma terna é primitiva quando gcd(a, b, c) é igual a 1. Ternas escaladas como 6-8-10 têm is_primitive false porque são múltiplos de 3-4-5.
A ferramenta de ternas pitagóricas a partir de um cateto é grátis?
O widget do navegador é grátis e roda localmente. Chamadas à API usam o saldo pré-pago do KIT ao preço base publicado US$ 0,002; entrada inválida não é cobrada.
O resultado é sempre o mesmo para o mesmo cateto?
Sim. O algoritmo é enumeração pura de fatores sobre a² sem aleatoriedade nem carimbos de tempo, então entradas idênticas produzem JSON idêntico.