Triplets pythagoriciens depuis un côté
Saisissez un côté de l'angle droit et obtenez tous les triangles entiers qui le partagent : un côté de 20 a quatre partenaires, de 20-15-25 à 20-99-101. Chaque triplet est signalé primitif ou multiple, trié selon l'autre côté. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Leg
- 20
- Quantité
- 4
Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers positifs (a, b, c) qui satisfont a² + b² = c² — les longueurs des côtés d'un triangle rectangle à côtés entiers. En classe, en concours et pour générer des triangles d'exemple, on part souvent d'un seul côté connu et l'on demande quels partenaires entiers complètent l'équation. Cette capacité prend la longueur d'un côté et renvoie chaque triplet correspondant : le côté fixe, chaque autre côté compatible, l'hypoténuse, et si le triplet est primitif.
Ce que signifient les triplets pythagoriciens à côté fixe
Lorsque vous fixez un côté a d'un triangle rectangle et exigez que l'autre côté b et l'hypoténuse c soient aussi des entiers positifs, vous demandez toutes les solutions de a² + b² = c² avec ce a maintenu constant. Le plus petit de ces triplets est la famille familière 3-4-5 ; tout côté entier de trois ou plus apparaît dans au moins un triplet, parfois dans plusieurs.
Certaines solutions sont primitives — gcd(a, b, c) vaut un — tandis que d'autres sont des multiples entiers d'un triplet plus petit, comme 6-8-10 issu de 3-4-5. Les manuels peuvent ne demander que le partenaire primitif, mais les problèmes de construction, les angles droits exacts au pixel près et les chemins entiers sur le réseau demandent souvent la liste complète.
Enumérer à la main consiste à chercher b tel que a² + b² soit un carré parfait, ce qui devient fastidieux quand a croît et il est facile d'oublier un partenaire intermédiaire. Automatiser la recherche garde la liste complète, ordonnée et prête pour l'étape suivante d'un pipeline, d'une correction de devoirs ou d'un générateur de données géométriques d'exemple.
Comment la capacité trouve chaque triplet correspondant
Algébriquement, a² + b² = c² se réécrit c² − b² = a², ou (c − b)(c + b) = a². Le moteur parcourt donc chaque paire de diviseurs positifs (d, e) de a² avec d = c − b, e = c + b, d inférieur à e, et d et e de même parité pour que b et c soient entiers : b égale (e − d) divisé par deux et c égale (e + d) divisé par deux.
Chaque paire valide devient le triplet (a, b, c) avec a égal au côté demandé ; le moteur enregistre aussi si gcd(a, b, c) vaut un, afin que vous distinguiez les triplets primitifs des multiples sans second passage. Il n'y a ni aléatoire, ni dépendance d'horloge, ni appel réseau.
Cas d’usage
Contrôle de devoirs et de concours
Vérifiez la liste complète de triplets entiers d'un élève pour un côté donné face à une réponse canonique, y compris lesquels sont primitifs.
Angles droits sur réseau et en CAO
Choisissez des partenaires entiers d'autre côté et d'hypoténuse pour une longueur fixe, afin que dessins, grilles ou trajectoires d'outil gardent des angles droits pythagoriciens exacts sans erreur flottante.
Questions fréquentes
Pourquoi le côté doit-il être d'au moins trois ?
Aucun triplet pythagoricien d'entiers positifs n'a de côté 1 ou 2.
Quels triplets du côté 20 sont primitifs ?
Deux des quatre : 20-21-29 et 20-99-101, dont les trois côtés n'ont aucun diviseur commun. Les deux autres, 20-15-25 et 20-48-52, sont des multiples entiers de triangles plus petits.
Que signifie primitif dans la liste ?
Un triplet est primitif quand ses trois côtés n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Le triplet 6-8-10 ne l'est pas, car c'est simplement 3-4-5 multiplié par deux.
Quelle taille peut avoir le côté ?
Tout entier de 3 à un million. Les valeurs inférieures à 3, les décimales et tout ce qui dépasse le plafond sont refusés avec un message clair plutôt qu'une liste incomplète.
Comment trouve-t-il tous les côtés partenaires ?
Il réécrit a² + b² = c² en (c − b)(c + b) = a² et essaie chaque paire de diviseurs de a² de même parité. Chaque paire donne un triangle entier, donc aucun n'est oublié.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":20}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"leg": 20
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"leg": 20
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":20}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"leg": 20
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pythagorean_from_leg",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment la capacité trouve chaque triplet correspondant
Vous envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire leg, un entier positif d'au moins trois et d'au plus un million. Les résultats sont triés par l'autre côté croissant puis par l'hypoténuse, de sorte que des requêtes identiques produisent toujours le même ordre JSON. Une entrée invalide — leg manquant, non entier, valeur inférieure à trois ou au-dessus du plafond publié — échoue avec invalid_input et n'est jamais facturée.
Où l'utiliser et ce qu'elle coûte
Les usages typiques comprennent la vérification des réponses d'élèves qui listent toutes les complétions entières de a² + b² = c² pour un a fixe, la génération de triangles rectangles primitifs et non primitifs pour des démos de géométrie, l'amorçage de paires de coordonnées entières pour des graphiques ou des trajectoires CNC qui exigent des angles droits exacts, et la documentation de la famille complète de triangles rectangles sur le réseau qui partagent un côté donné. Le chemin navigateur s'exécute en local et ne nécessite aucun compte. Utilisez l'outil gratuit du navigateur lorsque vous voulez une liste rapide pour un seul côté, ou appelez l'API lorsqu'un script, un carnet de notes ou un lot de données doit résoudre de nombreux côtés de la même façon à chaque fois. L'usage de l'API débite le solde prépayé KIT au prix de base publié $0.002 par requête réussie ; une validation en échec ne consomme pas de solde. Gardez leg dans les bornes documentées pour que la marche des facteurs sur a² reste prévisible, et traitez count et is_primitive comme des champs de premier plan plutôt que de les recalculer dans un code client qui pourrait s'écarter de ce contrat.
Cas d'intégration
Générateurs de triangles rectangles d'exemple
Faites passer des côtés successifs par l'API pour constituer des bibliothèques de triangles à côtés entiers pour démos, fiches ou quiz aléatoires avec réponses exactes.
Questions techniques
Comment lister les triplets pythagoriciens qui utilisent un côté donné ?
Envoyez en POST un corps JSON avec le champ entier leg (au moins 3). La réponse inclut count et un tableau de triplets {a, b, c, is_primitive}.
Que signifie is_primitive dans la réponse ?
Un triplet est primitif lorsque gcd(a, b, c) vaut 1. Les triplets mis à l'échelle comme 6-8-10 ont is_primitive false car ce sont des multiples de 3-4-5.
L'outil de triplets pythagoriciens depuis un côté est-il gratuit ?
Le widget du navigateur est gratuit et s'exécute en local. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT au prix de base publié $0.002 ; une entrée invalide n'est pas facturée.
Le résultat est-il toujours le même pour le même côté ?
Oui. L'algorithme est une énumération pure de facteurs sur a² sans aléatoire ni horodatage, donc des entrées identiques produisent un JSON identique.