Pythagoreische Tripel aus einem Schenkel
Geben Sie einen Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ein und erhalten Sie alle ganzzahligen Dreiecke mit diesem Schenkel: Zu 20 gibt es vier Partner, von 20-15-25 bis 20-99-101. Jedes Tripel ist als primitiv oder vervielfacht markiert. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Leg
- 20
- Anzahl
- 4
Ein pythagoreisches Tripel ist ein Tripel positiver ganzer Zahlen (a, b, c), die a² + b² = c² erfüllen — die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten. In Unterricht, Wettbewerben und beim Erzeugen von Beispieldreiecken startet man oft von einem einzigen bekannten Schenkel und fragt, welche ganzzahligen Partner die Gleichung vervollständigen. Diese Fähigkeit nimmt eine Schenkellänge entgegen und liefert jedes passende Tripel: den festen Schenkel, jeden kompatiblen anderen Schenkel, die Hypotenuse und ob das Tripel primitiv ist.
Was pythagoreische Tripel mit festem Schenkel bedeuten
Wenn Sie einen Schenkel a eines rechtwinkligen Dreiecks festhalten und verlangen, dass der andere Schenkel b und die Hypotenuse c ebenfalls positive ganze Zahlen sind, fragen Sie nach allen Lösungen von a² + b² = c² mit diesem konstanten a. Das kleinste solche Tripel ist die vertraute Familie 3-4-5; jeder ganzzahlige Schenkel von drei oder mehr erscheint in mindestens einem Tripel, manchmal in mehreren. Manche Lösungen sind primitiv — gcd(a, b, c) gleich eins — andere sind ganzzahlige Vielfache eines kleineren Tripels, etwa 6-8-10 aus 3-4-5.
Lehrbücher fordern oft nur den primitiven Partner, doch Konstruktionsaufgaben, pixelgenaue rechte Winkel und ganzzahlige Gitterpfade brauchen häufig die vollständige Liste. Manuelles Aufzählen bedeutet, b so zu suchen, dass a² + b² eine perfekte Quadratzahl ist; das wird mit wachsendem a mühsam und man übersieht leicht einen mittleren Partner. Die automatisierte Suche hält die Liste vollständig, geordnet und bereit für den nächsten Schritt in einer Pipeline, einer Hausaufgabenprüfung oder einem Generator geometrischer Beispieldaten.
Wie die Fähigkeit jedes passende Tripel findet
Algebraisch wird a² + b² = c² zu c² − b² = a² bzw. (c − b)(c + b) = a² umgestellt. Die Engine durchläuft daher jedes positive Teilerpaar (d, e) von a² mit d = c − b, e = c + b, d kleiner als e und d und e gleicher Parität, damit b und c ganzzahlig werden: b ist (e − d) geteilt durch zwei und c ist (e + d) geteilt durch zwei.
Jedes gültige Paar wird zum Tripel (a, b, c) mit a gleich dem angefragten Schenkel; die Engine vermerkt außerdem, ob gcd(a, b, c) eins ist, sodass Sie primitive von skalierten Tripeln ohne zweiten Durchlauf unterscheiden. Es gibt keine Zufälligkeit, keine Uhrzeitabhängigkeit und keinen Netzwerkaufruf.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Prüfen Sie die vollständige Liste ganzzahliger Tripel eines Schülers für einen gegebenen Schenkel gegen eine kanonische Antwort, einschließlich welche Einträge primitiv sind.
Rechte Winkel in Gitter und CAD
Wählen Sie ganzzahlige Partner für anderen Schenkel und Hypotenuse bei fester Lauflänge, damit Zeichnungen, Raster oder Werkzeugbahnen exakte pythagoreische rechte Winkel ohne Gleitkommafehler behalten.
Häufige Fragen
Warum muss der Schenkel mindestens drei sein?
Kein positives ganzzahliges pythagoreisches Tripel hat einen Schenkel 1 oder 2.
Welche Tripel zum Schenkel 20 sind primitiv?
Zwei der vier: 20-21-29 und 20-99-101, deren drei Seiten keinen gemeinsamen Teiler haben. Die anderen beiden, 20-15-25 und 20-48-52, sind ganzzahlige Vielfache kleinerer Dreiecke.
Was bedeutet primitiv in der Liste?
Ein Tripel ist primitiv, wenn seine drei Seiten außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. 6-8-10 ist es nicht, denn es ist einfach das verdoppelte 3-4-5.
Wie groß darf der Schenkel sein?
Jede ganze Zahl von 3 bis zu einer Million. Werte unter 3, Dezimalzahlen und alles über der Grenze werden mit einer klaren Meldung abgelehnt, statt eine unvollständige Liste zu liefern.
Wie findet der Rechner alle Partnerschenkel?
Er schreibt a² + b² = c² als (c − b)(c + b) = a² um und probiert jedes Teilerpaar von a² mit gleicher Parität. Jedes Paar ergibt ein ganzzahliges Dreieck, sodass keines fehlt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":20}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"leg": 20
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"leg": 20
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":20}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pythagorean-from-leg", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"leg": 20
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pythagorean_from_leg",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie die Fähigkeit jedes passende Tripel findet
Sie senden einen JSON-Body mit dem einzigen Pflichtfeld leg, einer positiven ganzen Zahl von mindestens drei und höchstens einer Million. Die Ergebnisse sind nach aufsteigendem anderem Schenkel und dann nach Hypotenuse sortiert, sodass identische Anfragen stets dieselbe JSON-Reihenfolge liefern. Ungültige Eingabe — fehlendes leg, keine ganze Zahl, Wert unter drei oder über der veröffentlichten Obergrenze — scheitert mit invalid_input und wird nie berechnet.
Wo Sie sie einsetzen und was sie kostet
Typische Einsätze sind die Prüfung von Schülerantworten, die alle ganzzahligen Vervollständigungen von a² + b² = c² für festes a auflisten, das Erzeugen primitiver und nicht-primitiver rechtwinkliger Dreiecke für Geometrie-Demos, das Setzen ganzzahliger Koordinatenpaare für Grafik oder CNC-Bahnen mit exakten rechten Winkeln sowie die Dokumentation der gesamten Familie gitterförmiger rechtwinkliger Dreiecke, die eine gegebene Seite teilen. Der Browser-Pfad läuft lokal und braucht kein Konto. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Werkzeug, wenn Sie eine schnelle Liste für einen einzelnen Schenkel wollen, oder rufen Sie die API auf, wenn ein Skript, ein Notenbuch oder ein Datenjob viele Schenkel jedes Mal auf dieselbe Weise auflösen muss. API-Nutzung belastet das vorausbezahlte KIT-Guthaben zum veröffentlichten Basispreis $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie leg in den dokumentierten Grenzen, damit der Faktor-Durchlauf über a² vorhersagbar bleibt, und behandeln Sie count und is_primitive als erstklassige Felder, statt sie im Client-Code neu abzuleiten, der von diesem Vertrag abweichen könnte.
Integrationsbeispiele
Generatoren für rechtwinklige Beispieldreiecke
Führen Sie aufeinanderfolgende Schenkel durch die API, um Bibliotheken ganzzahliger Dreiecke für Demos, Arbeitsblätter oder randomisierte Quizzes mit exakten Antworten aufzubauen.
Technische Fragen
Wie liste ich pythagoreische Tripel auf, die einen gegebenen Schenkel nutzen?
Senden Sie per POST einen JSON-Body mit dem Ganzzahlfeld leg (mindestens 3). Die Antwort enthält count und ein Array von Tripeln {a, b, c, is_primitive}.
Was bedeutet is_primitive in der Antwort?
Ein Tripel ist primitiv, wenn gcd(a, b, c) gleich 1 ist. Skalierte Tripel wie 6-8-10 haben is_primitive false, weil sie Vielfache von 3-4-5 sind.
Ist das Werkzeug für pythagoreische Tripel aus einem Schenkel kostenlos?
Das Browser-Widget ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zum veröffentlichten Basispreis $0.002; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.
Ist das Ergebnis für denselben Schenkel immer gleich?
Ja. Der Algorithmus ist reine Faktoren-Enumeration über a² ohne Zufall oder Zeitstempel, daher erzeugen identische Eingaben identisches JSON.