B-glatte Zahlen auflisten
Bis 30 gibt es 18 Zahlen, deren Primfaktoren alle höchstens 5 sind: die 5-glatten Zahlen, auch Hamming-Zahlen genannt. Geben Sie eine Schranke B und eine Grenze N ein und erhalten Sie die geordnete Liste, die verwendeten Primzahlen und die Anzahl. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- B
- 5
- N
- 30
- Primzahlen ≤ b
- 2, 3, 5
- Anzahl
- 18
Eine positive ganze Zahl ist B-glatt (auch B-friabel genannt), wenn jeder Primfaktor höchstens B ist. Klassische Beispiele sind die Hamming-Zahlen, genau die 5-glatten Positiven: Produkte von Potenzen von zwei, drei und fünf. Diese Fähigkeit nimmt eine Glattheitsschranke B und eine Obergrenze N und liefert die vollständige geordnete Liste aller B-glatten ganzen Zahlen von 1 bis N, zusammen mit den Primzahlen höchstens B und einem Zählfeld.
Was B-glatte Zahlen sind und warum die Liste zählt
In der elementaren Zahlentheorie heißt eine positive ganze Zahl m B-glatt, wenn jede Primzahl, die m teilt, kleiner oder gleich einer festen Schranke B ist. Die Zahl 1 gilt für jedes B als B-glatt, weil sie eine leere Menge von Primfaktoren hat. Vertraute Sonderfälle sind die Hamming-Zahlen (5-glatt), die Zweierpotenzen (2-glatt) und zusammengesetzte-freundliche Mengen im quadratischen Sieb und Zahlkörpersieb, wo glatte Relationen den Engpass des Angriffs bilden.
Jeden B-glatten Wert bis N aufzulisten, macht die Definition greifbar: Sie sehen, welche Zusammengesetzten den Primfaktorfilter überstehen, wie dünn oder dicht die Menge für ein gegebenes Paar (B, N) ist, und wie sich die Anzahl ändert, wenn Sie B um eine einzige Primzahl anheben. Studierende verwechseln Glattheit oft mit Primzahltest oder Quadratfreiheit; die vollständige aufsteigende Liste trennt diese Begriffe sofort.
Forschende und Ingenieure nutzen dieselbe Enumeration, um zufällig wirkende, aber faktorfreundliche Zahlen zu säen, Wettbewerbsaufgaben zu bewerten, die alle Hamming-Zahlen unter einer Decke verlangen, und Hand-Siebe zu prüfen, bevor sie einer größeren eigenen Implementierung vertrauen.
Wo Sie die Liste einsetzen und was sie kostet
Wenn Sie nur einen Zugehörigkeitstest für eine einzelne ganze Zahl brauchen, können Sie dieses Werkzeug trotzdem mit kleinem N ausführen und das zurückgegebene Array durchsuchen, oder die Zahl separat faktorisieren und prüfen, dass ihr größter Primfaktor höchstens B ist. Der Browser-Pfad läuft lokal und braucht kein Konto. Behandeln Sie die zurückgegebene Anzahl als maßgeblich für die gelisteten Zahlen, statt die Länge im Client-Code neu zu berechnen, der von diesem Vertrag abweichen könnte.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Vergleichen Sie die Liste von Hamming- oder anderen B-glatten Zahlen bis N eines Studierenden mit der kanonischen vollständigen Enumeration und Anzahl, statt unvollständige Hand-Siebe zu bewerten.
Lehrdemos zur Glattheitsdichte
Zeigen Sie live, wie das Anheben von B von 2 über 3 auf 5 mehr der ganzen Zahlen unter N füllt, und bestätigen Sie, dass die Anzahl mit einem unabhängigen Faktorisierungsfilter übereinstimmt.
Häufige Fragen
Gilt 1 als B-glatt?
Ja. Die ganze Zahl 1 hat keine Primfaktoren, ist also für jede gültige Schranke B B-glatt und erscheint bei N ≥ 1 stets zuerst in der Liste.
Was sind Hamming-Zahlen in diesem Werkzeug?
Hamming-Zahlen sind genau die 5-glatten Positiven. Setzen Sie b auf 5 und wählen Sie n; das Array numbers ist die bei N abgeschnittene Hamming-Folge.
Warum werden kleine B oder N abgelehnt?
n muss mindestens 1 und b mindestens 2 sein.
Wie prüfe ich, ob eine einzelne Zahl B-glatt ist?
Erzeugen Sie die Liste mit einer kleinen Grenze und suchen Sie die Zahl darin, oder zerlegen Sie sie separat in Primfaktoren und prüfen Sie, ob der größte höchstens B ist. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Ist eine B-glatte Zahl dasselbe wie eine Primzahl?
Nein. Glattheit begrenzt nur die Größe der Primfaktoren, daher gehören auch zusammengesetzte Zahlen dazu. Zweierpotenzen wie 4 und 8 sind 2-glatt, aber keine davon ist eine Primzahl.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/b-smooth-list \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"b":5,"n":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/b-smooth-list", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"b": 5,
"n": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/b-smooth-list",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"b": 5,
"n": 30
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/b-smooth-list", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"b":5,"n":30}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"b":5,"n":30}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/b-smooth-list", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"b": 5,
"n": 30
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.b_smooth_list",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie die Fähigkeit enumeriert und wann sie ablehnt
Die Engine siebt zuerst jede Primzahl kleiner oder gleich B, multipliziert diese Primzahlen dann rekursiv in nicht-absteigender Reihenfolge, beginnend bei eins, und speichert jedes Produkt, das höchstens N bleibt. Dieser Lauf ist deterministisch und frei von Uhren, Zufall oder Netzwerzustand, sodass identische Anfragen stets dasselbe geordnete Array liefern. Fehlende Felder, Nicht-Ganzzahlen und Werte über dem veröffentlichten Maximum scheitern ebenso und werden nie berechnet. Sie senden einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen Ganzzahlfeldern: b (die Glattheitsschranke B, mindestens zwei) und n (die inklusive Obergrenze N, mindestens eins). Die Antwort spiegelt b und n wider, legt primes_le_b zur Transparenz offen, liefert numbers als aufsteigende Liste der B-glatten ganzen Zahlen im abgeschlossenen Intervall von eins bis N und setzt count auf die Länge dieser Liste. Werte von n unter eins scheitern mit invalid_input, weil der übliche Bereich positiver ganzer Zahlen bei eins beginnt. Werte von b unter zwei scheitern mit invalid_input, weil es keine Primzahl streng kleiner als zwei gibt, sodass eine Schranke null oder eins unter der üblichen Definition keine sinnvolle Glattheitsklasse bildet. Halten Sie N und B innerhalb der dokumentierten Decken, damit die volle Liste für Browser- und API-Nutzlasten praktisch bleibt.
Wo Sie die Liste einsetzen und was sie kostet
Nutzen Sie das kostenlose Browser-Werkzeug für eine schnelle visuelle Prüfung bei kleiner Schranke und Grenze, oder rufen Sie die API auf, wenn ein Skript, Notenbuch, Generator oder Forschungsnotizbuch viele Paare jedes Mal gleich auflösen muss. API-Nutzung belastet das vorausbezahlte KIT-Guthaben zum veröffentlichten Grundpreis von $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Test-Fixture-Erzeugung für friable Eingaben
Senden Sie kleine Paare (B, N) an die API und verwenden Sie jede zurückgegebene ganze Zahl als Eingabefall für Funktionen, die glatte oder Hamming-artige Argumente erwarten.
Technische Fragen
Wie liste ich alle B-glatten Zahlen bis N auf?
Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit den Ganzzahlen b (Glattheitsschranke, ≥ 2) und n (Obergrenze, ≥ 1). Die Antwort enthält numbers, count und primes_le_b.
Ist die Liste B-glatter Zahlen kostenlos?
Das Browser-Widget ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zum veröffentlichten Grundpreis von $0.002; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.