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Fonction de comptage π(n)

Compte les nombres premiers inférieurs ou égaux à n : π(10) vaut 4, car les premiers sont 2, 3, 5 et 7. Chaque réponse donne aussi le plus grand premier inférieur ou égal à votre nombre, pour toute borne jusqu'à cinq millions. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

N: 100

Vous obtenez

π(n): 25
Quantité: 25
Plus grand premier: 97

La fonction de comptage des nombres premiers π(n) répond à une question simple aux racines profondes en théorie des nombres : combien de nombres premiers sont inférieurs ou égaux à n ? Des échauffements de concours aux estimations analytiques telles que le théorème des nombres premiers, π(n) est le décompte standard des premiers sur un intervalle initial. Cet outil évalue π(n) de façon déterministe avec le crible d'Ératosthène, puis renvoie à la fois le décompte et le plus grand premier trouvé à ou en dessous de votre borne.

Ce que signifie π(n) et pourquoi un crible est le bon moteur

Par définition π(n) égale le nombre de premiers p tels que p est au plus n. Pour n égal à dix les premiers sont deux, trois, cinq et sept, donc π(10) vaut quatre. Pour n égal à cent le décompte est vingt-cinq et le plus grand premier est quatre-vingt-dix-sept.

Énumérer les candidats un par un par division d'essai fonctionne pour de tout petits n mais scale mal lorsque vous n'avez besoin que du décompte : chaque candidat coûte une recherche de facteurs bornée par la racine, et il faut encore parcourir chaque entier jusqu'à n.

Le crible d'Ératosthène inverse le travail : allouer une table booléenne (ou d'octets) de taille n plus un, marquer les multiples de chaque premier à partir de son carré, puis parcourir la table une fois en comptant les entrées non marquées de deux à n. La complexité classique est de l'ordre de n log log n étapes arithmétiques avec une mémoire linéaire en n.

C'est exactement le profil d'une capacité de parse gratuite : CPU pure, pas d'E/S, et un résultat qui ne dépend jamais d'un modèle, d'une horloge ou d'un état externe.

Où les décomptes de premiers apparaissent dans le travail réel

Les programmeurs de concours utilisent π(n) comme brique pour les tables de crible, les premiers segmentés et les problèmes qui demandent combien de premiers tombent dans une plage initiale avant d'appliquer des filtres plus durs. Les enseignants assignent des exercices π(n) et ont besoin d'un oracle déterministe qui signale aussi le plus grand premier afin que les élèves puissent croiser leurs cribles manuels.

Les ingénieurs données et systèmes ont parfois besoin d'estimations de densité de premiers pour dimensionner des tables de hachage, choisir des modules près d'une borne, ou valider qu'une liste de premiers générée a la cardinalité attendue.

Si plus tard vous avez besoin de la liste complète des premiers, de la primalité d'un grand entier ou d'une factorisation, traitez-les comme des intentions de recherche séparées plutôt que de surcharger cette page centrée sur le décompte. π(n) reste la bonne page lorsque la question est simplement combien de premiers se trouvent à ou en dessous de n.

Cas d’usage

Contrôles de densité des premiers

Confirmez qu'une liste de premiers générée jusqu'à n a la cardinalité attendue avant de l'utiliser dans des hachages, modules ou démos pédagogiques.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la fonction de comptage des premiers π(n) ?

π(n) est le nombre de premiers inférieurs ou égaux à n. Par exemple π(10)=4 et π(100)=25. Cet outil calcule ce décompte par crible.

Cela liste-t-il tous les premiers jusqu'à n ?

Non. Il renvoie le décompte (pi/count) et le plus grand premier ≤ n. Lister chaque premier est une autre tâche et une autre intention de recherche.

Pourquoi n inférieur à 2 est-il une erreur ?

Il n'y a pas de premiers ≤ 1.

Quel est le coût ?

L'outil navigateur est gratuit et s'exécute en local.

Combien y a-t-il de nombres premiers jusqu'à 100 ?

Il y en a 25 jusqu'à 100, donc π(100) vaut 25, et le plus grand est 97. Jusqu'à 1000, le compte monte à 168.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":100}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 100
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 100
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":100}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":100}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "n": 100
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.prime_counting",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

`min_n`	2
`max_n`	5000000

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Ce que signifie π(n) et pourquoi un crible est le bon moteur

Ce point de terminaison implémente ce crible, enregistre le dernier indice non marqué comme largest_prime et expose π(n) sous pi et count afin que les SDK et les notes de cours puissent utiliser l'un ou l'autre nom sans ambiguïté.

Contrat d'entrée, limites et forme d'une réponse réussie

Les non-entiers, les champs vides et les valeurs au-dessus de cinq millions échouent aussi la validation et ne sont pas facturés. Vérifications ponctuelles de confiance : π(2) vaut un avec plus grand premier deux ; π(10) vaut quatre avec plus grand premier sept ; π(100) vaut vingt-cinq avec plus grand premier quatre-vingt-dix-sept ; π(1000) vaut cent soixante-huit. Envoyez un unique champ entier n (les alias number, value et limit sont acceptés). Les valeurs inférieures à deux sont rejetées avec invalid_input car il n'existe pas de premiers inférieurs ou égaux à un, et ce produit traite cette borne comme une erreur client claire plutôt que de renvoyer un zéro facile à mal lire dans les formulaires. En cas de succès la réponse inclut le n normalisé, pi et count avec la même valeur entière, et largest_prime égal au plus grand premier à ou en dessous de n. Le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi ; l'échec de validation ne consomme pas de solde.

Où les décomptes de premiers apparaissent dans le travail réel

Comme la capacité est un moteur de parse pur, le même n produit toujours le même JSON sans dépendance réseau ni état stocké. Utilisez l'exécuteur gratuit du navigateur pour vérifier un devoir ou explorer de petites bornes, puis appelez l'API depuis des scripts et la CI lorsque vous avez besoin de contrôles en masse avec un solde prépayé.

Cas d'intégration

Contrôles de concours et de devoirs

Vérifiez π(n) pour les échauffements d'olympiade et les feuilles de crible, avec largest_prime renvoyé pour auditer les tables marquées à la main face au décompte.

Théorie des nombres adaptée aux pipelines

Appelez le même contrat déterministe depuis scripts et CI afin que les fixtures de décompte de premiers ne dépendent jamais d'un tableur ou d'un formulaire web occasionnel.

Questions techniques

Quelles valeurs de n sont acceptées ?

Entiers de 2 à 5,000,000. Les valeurs sous 2, au-dessus du max, les décimales et les chaînes non numériques échouent avec invalid_input.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Ce que signifie π(n) et pourquoi un crible est le bon moteur

Où les décomptes de premiers apparaissent dans le travail réel

Cas d’usage

Contrôles de densité des premiers

Questions fréquentes

Outils associés

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Endpoint

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Exemple de requête

Exemple de réponse

Tarifs

Limites

Erreurs

Notes techniques

Ce que signifie π(n) et pourquoi un crible est le bon moteur

Contrat d'entrée, limites et forme d'une réponse réussie

Où les décomptes de premiers apparaissent dans le travail réel

Cas d'intégration

Contrôles de concours et de devoirs

Théorie des nombres adaptée aux pipelines

Questions techniques

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