Primzahlzählfunktion π(n)
Zählt, wie viele Primzahlen kleiner oder gleich n sind: π(10) ist 4, denn die Primzahlen sind 2, 3, 5 und 7. Jede Antwort nennt auch die größte Primzahl bis zu Ihrer Zahl, für jede Grenze bis fünf Millionen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 100
- π(n)
- 25
- Anzahl
- 25
- Größte Primzahl
- 97
Die Primzahlzählfunktion π(n) beantwortet eine einfache Frage mit tiefen zahlentheoretischen Wurzeln: Wie viele Primzahlen sind kleiner oder gleich n? Von Wettbewerbs-Aufwärmern bis zu analytischen Schätzungen wie dem Primzahlsatz ist π(n) die Standardzählung der Primzahlen in einem Anfangsintervall. Dieses Werkzeug wertet π(n) deterministisch mit dem Sieb des Eratosthenes aus und liefert sowohl die Anzahl als auch die größte gefundene Primzahl bei oder unter Ihrer Schranke.
Was π(n) bedeutet und warum ein Sieb die richtige Engine ist
Definitionsgemäß ist π(n) die Anzahl der Primzahlen p mit p höchstens n. Für n gleich zehn sind die Primzahlen zwei, drei, fünf und sieben, also ist π(10) vier. Für n gleich hundert ist die Anzahl fünfundzwanzig und die größte Primzahl siebenundneunzig.
Kandidaten einzeln mit Probedivision aufzulisten funktioniert bei winzigem n, skaliert aber schlecht, wenn Sie nur die Anzahl brauchen: jeder Kandidat kostet eine wurzelbegrenzte Faktorensuche, und Sie müssen trotzdem jede ganze Zahl bis n durchlaufen. Das Sieb des Eratosthenes dreht die Arbeit um: allozieren Sie eine boolesche (oder Byte-)Tabelle der Größe n plus eins, markieren Sie Vielfache jeder Primzahl ab ihrem Quadrat und laufen Sie die Tabelle einmal ab, wobei unmarkierte Einträge von zwei bis n gezählt werden.
Die klassische Komplexität liegt in der Ordnung n log log n arithmetischer Schritte bei linearem Speicher in n. Das ist genau das Profil einer kostenlosen Parse-Fähigkeit: reine CPU, kein I/O, und ein Ergebnis, das nie von einem Modell, einer Uhr oder externem Zustand abhängt.
Wo Primzahlzählungen in der echten Arbeit auftauchen
Wettbewerbsprogrammierer nutzen π(n) als Baustein für Siebtabellen, segmentierte Primzahlen und Aufgaben, die fragen, wie viele Primzahlen in einen Anfangsbereich fallen, bevor härtere Filter greifen. Lehrkräfte stellen π(n)-Übungen und brauchen ein deterministisches Orakel, das auch die größte Primzahl meldet, damit Studierende ihre Handsiebe abgleichen können. Daten- und Systemingenieure brauchen manchmal Primzahldichte-Schätzungen beim Dimensionieren von Hash-Tabellen, beim Wählen von Moduln nahe einer Schranke oder beim Prüfen, dass eine erzeugte Primzahlliste die erwartete Kardinalität hat.
Wenn Sie später die volle Primzahlliste, die Primheit einer großen ganzen Zahl oder die Faktorisierung brauchen, behandeln Sie das als getrennte Suchabsichten statt diese zählfokussierte Seite zu überladen. π(n) bleibt die richtige Seite, wenn die Frage schlicht lautet, wie viele Primzahlen bei oder unter n liegen.
Anwendungsfälle
Primzahldichte-Plausibilitätsprüfungen
Bestätigen Sie, dass eine erzeugte Primzahlliste bis n die erwartete Kardinalität hat, bevor Sie sie in Hashes, Moduln oder Lehrdemos verwenden.
Häufige Fragen
Was ist die Primzahlzählfunktion π(n)?
π(n) ist die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich n. Zum Beispiel π(10)=4 und π(100)=25. Dieses Werkzeug berechnet jene Anzahl per Sieb.
Listet dies jede Primzahl bis n auf?
Nein. Es liefert die Anzahl (pi/count) und die größte Primzahl ≤ n. Jede Primzahl aufzulisten ist eine andere Aufgabe und eine andere Suchabsicht.
Warum ist n unter 2 ein Fehler?
Es gibt keine Primzahlen ≤ 1. Dieser Endpunkt verlangt n ≥ 2, damit Formulare und APIs einen klaren Schrankenfehler zeigen statt einer stillen Null, die leicht falsch gelesen wird.
Wie viele Primzahlen gibt es bis 100?
Bis 100 gibt es 25 Primzahlen, also ist π(100) gleich 25, und die größte davon ist 97. Bis 1000 steigt die Anzahl auf 168.
Welche Zahl darf ich höchstens eingeben?
Jede ganze Zahl von 2 bis fünf Millionen. Zahlen unter 2 werden abgelehnt, weil es bis 1 keine Primzahlen gibt und eine bloße Null leicht missverstanden würde.
Werden alle Primzahlen bis n aufgelistet?
Nein. Sie erhalten die Anzahl π(n) und die größte Primzahl bis n, etwa 25 und 97 für die Grenze 100. Für eine vollständige Liste ist ein anderes Werkzeug gedacht.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":100}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 100
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 100
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":100}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":100}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/prime-counting", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 100
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.prime_counting",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
min_n | 2 |
max_n | 5000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Was π(n) bedeutet und warum ein Sieb die richtige Engine ist
Dieser Endpunkt implementiert jenes Sieb, speichert den letzten unmarkierten Index als largest_prime und stellt π(n) unter pi und count bereit, damit SDKs und Unterrichtsnotizen entweder Namen ohne Mehrdeutigkeit nutzen können.
Eingabevertrag, Grenzen und Form einer erfolgreichen Antwort
Nicht-Ganzzahlen, leere Felder und Werte über fünf Millionen scheitern ebenfalls an der Validierung und werden nicht berechnet. Spotchecks, denen Sie vertrauen können: π(2) ist eins mit größter Primzahl zwei; π(10) ist vier mit größter Primzahl sieben; π(100) ist fünfundzwanzig mit größter Primzahl siebenundneunzig; π(1000) ist hundertachtundsechzig. Senden Sie ein einzelnes ganzzahliges Feld n (Aliase number, value und limit werden akzeptiert). Werte unter zwei werden mit invalid_input abgelehnt, weil es keine Primzahlen kleiner oder gleich eins gibt, und dieses Produkt behandelt jene Schranke als klaren Client-Fehler statt eine Null zurückzugeben, die in Formularen leicht falsch gelesen wird. Bei Erfolg enthält die Antwort das normalisierte n, pi und count mit demselben ganzzahligen Wert und largest_prime gleich der größten Primzahl bei oder unter n. Der API-Preis ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Wo Primzahlzählungen in der echten Arbeit auftauchen
Weil die Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, liefert dasselbe n immer dasselbe JSON ohne Netzwerkabhängigkeit und ohne gespeicherten Zustand.
Integrationsbeispiele
Wettbewerbs- und Hausaufgabenprüfungen
Prüfen Sie π(n) für Olympiade-Aufwärmer und Sieb-Arbeitsblätter, mit zurückgegebenem largest_prime, damit handmarkierte Tabellen gegen die Anzahl geprüft werden können.
Pipeline-freundliche Zahlentheorie
Rufen Sie denselben deterministischen Vertrag aus Skripten und CI auf, damit Primzahlzähl-Fixtures nie von einer Tabelle oder einem beiläufigen Webformular abhängen.
Technische Fragen
Welche Werte von n werden akzeptiert?
Ganzzahlen von 2 bis 5,000,000. Werte unter 2, über dem Maximum, Dezimalzahlen und nichtnumerische Zeichenketten scheitern mit invalid_input.
Was kostet es?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.