Rechner für die n-te Primzahl

Der Rechner für die n-te Primzahl beantwortet eine klassische zahlentheoretische Frage: Welche Primzahl steht an Position n, wenn Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge ab zwei aufgelistet werden? Geben Sie einen einer-basierten Index an — eins für die erste Primzahl, zwei für die zweite und so weiter —, und das Werkzeug liefert diese Primzahl exakt. Es nutzt ein deterministisches Sieb des Eratosthenes, dimensioniert durch eine bewiesene Obergrenze für die n-te Primzahl, sodass derselbe Index immer denselben Wert ergibt, ohne Gleitkomma-Vermutung, ohne Zufallsstichprobe und ohne Netzwerkaufruf.

Was die n-te Primzahl bedeutet und was die Antwort enthält

Per Konvention beginnt die Folge der Primzahlen mit 2, 3, 5, 7, 11 und so weiter. Der Index n ist einer-basiert: n gleich eins liefert zwei, n gleich zwei liefert drei, und n gleich zehn liefert neunundzwanzig. Diese Reihenfolge ist dieselbe, die in Lehrbüchern, OEIS A000040 und Programmierwettbewerbsaufgaben verwendet wird, die nach der k-ten Primzahl fragen.

Dieser Rechner liefert den angeforderten Index, die Primzahl selbst als Ganzzahl, ein redundantes index-Feld für Aufrufer, die einen expliziten Namen bevorzugen, und das veröffentlichte maximal unterstützte n, damit Clients vor dem Senden eines Stapels validieren können. Zurückgewiesen werden unter anderem fehlendes n, Nicht-Ganzzahlen, Brüche, wissenschaftliche Notation, Werte unter eins und Werte oberhalb der dokumentierten Obergrenze. Wenn Sie Faktoren einer bekannten Ganzzahl statt der Primzahl an einem Rang benötigen, nutzen Sie stattdessen ein Faktorisierungswerkzeug; diese Seite beantwortet ausschließlich die Rang-zu-Primzahl-Frage.

Wie der Index gelesen wird und wie das Sieb exakt bleibt

Optionale führende Pluszeichen sind erlaubt; eingebettete Leerzeichen, Hex-Präfixe und Exponentialnotation werden mit einer klaren Meldung zurückgewiesen, damit eine fehlerhafte Zelle nicht zu einer falschen Primzahl wird. Die Engine erzwingt ein hartes Maximum von hunderttausend für n, was Speicher und Latenz auf dem kostenlosen Browserpfad und auf dem Edge-Worker in einem vorhersehbaren Budget hält: Die hunderttausendste Primzahl liegt etwas über einer Million, und ein Sieb dieser Größe wird in modernem JavaScript schnell fertig.

Um das Sieb zu dimensionieren, nutzt die Implementierung eine klassische Obergrenze für die n-te Primzahl bei n mindestens sechs — ungefähr n mal die Summe aus dem natürlichen Logarithmus von n und dem Logarithmus dieses Logarithmus — mit einem kleinen additiven Puffer, führt dann das Sieb des Eratosthenes aus und sammelt Primzahlen, bis die n-te bekannt ist. Für die winzigen Indizes unter sechs deckt eine feste Obergrenze die ersten paar Primzahlen ab, ohne Sonderfälle in der Grenzformel.

Wo rangbasierte Primzahlen bei Studium, Code und Lehre Anwendung finden

Lehrkräfte können Lösungsschlüssel für einen Aufgabensatz vorab erstellen, ohne Gleitkomma-Rechnern zu vertrauen, die große Ganzzahlen verwischen. Entwickler rufen denselben Vertrag aus Skripten auf, um Hash-Tabellengrößen zu speisen, um deterministische Testvektoren für zahlentheoretische Hilfsmittel zu erstellen, oder um Programmieraufgaben zu erfüllen, die die exakte k-te Primzahl statt der nächsten Primzahl nach einer Grenze verlangen. Wettbewerbspraxis braucht oft eine schnelle Offline-Quelle für geordnete Primzahlen, damit Lösungen ohne das Herunterladen von Tabellen geprüft werden können.