ケプラーの第三法則
質量5.9722 × 10^24 kgの地球の中心から42164000 mを回る衛星の周期は86163.3432753秒で、ちょうど1恒星日です。半長軸をメートル、中心天体の質量をキログラムで入れれば、地球や月、太陽を回る軌道の周期が分かります。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 半長軸
- 42,164,000
- 質量
- 5,972,200,000,000,000,000,000,000
- G
- 0.0000000001
- Mu
- 398,602,544,600,000
- 周期
- 86,163.3432753
このケプラーの第三法則計算機は、衛星の半長軸と周回する天体の質量を、恒星時の軌道周期（秒）へ変換します。ここで用いるニュートン二体形式は、T が 2π に a の三乗を G・M で割ったものの平方根を掛けた値であり、衛星が中心質量に比べて軽いときのケプラーの第三法則の工学的な表現です。半長軸と中心質量はともに厳密に正でなければなりません。
衛星に対するケプラーの第三法則と周期の式
ケプラーの第三法則は、束縛軌道の恒星周期をその軌道の大きさと周回される天体の質量へ結びつける閉形式の関係です。二体問題で衛星質量が中心天体に対して無視できるとき、ニュートン的な主張は T の二乗が 4π² に a の三乗を掛けて G・M で割ったものとなり、整理すると T は 2π に a の三乗を G M で割ったものの平方根を掛けた値です。
ここで T は軌道周期、a は楕円の半長軸（円軌道なら軌道半径）、M は中心質量、G はニュートンの重力定数です。元の天文学的な形は同じ星のまわりの二つの惑星を比べ、T の二乗を a の三乗で割った比が両者で同じだと述べました。
本計算機は明示的な質量を持つ同等の工学形式を使い、ミッション設計者が第二の参照軌道なしに地球・月・太陽の値を入れられるようにしています。主結果は一つの数、秒単位の周期です。モデルはケプラー的で、大気抗力、第三体摂動、地球の扁平、輻射圧、推力は無視します。
これらは高精度暦では重要ですが、ケプラーの第三法則ではありません。高度と惑星質量から第一近似の周期が必要なら、用いるべき式はこれです。呼び出す前に中心天体の平均半径を足して高度を半長軸へ直してください。
法則は地表高度ではなく a で書かれているからです。
入力、SI 単位、重力定数、およびエラー
半長軸は厳密に正でなければなりません。零や負の軸は閉じたケプラー楕円を定義できず、a の三乗の平方根は正の実周期になりません。中心質量も厳密に正でなければなりません。
零や負の M はニュートン重力の下で非物理的であり、零除算や虚数周期を生みます。典型確認には、地球質量まわり約四万二千百六十キロメートルの静止軌道級半径で恒星日に近い周期、約六千七百七十八キロメートルの低地球半径で約九十三分の周期があります。単位を一貫させてください。
キロメートル、天文単位、地球半径、太陽質量、地球質量は呼び出し前にメートルとキログラムへ換算し、数値積が報告書の SI 解釈と一致するようにします。無料ブラウザ実行器は同一の同型関数 solve を実行するため、ローカルで通る参照例は十二桁の有効数字丸めのあと本番算術と一致します。
ケプラーの第三法則による衛星周期が使われる場面
CubeSat チームとアマチュア無線運用者は、数値伝播器を走らせたり地上局通過を予定したりする前に、目標高度を第一近似の周期へ変換します。中等・大学初年の物理では、地球衛星・月周回機・簡略化した系外惑星の年について同じ式を並べ替えるケプラー演習が出され、決定的なオラクルは計算機代数システムを立てずに採点とデモ準備を速めます。
ミッション概念検討は、表形式の質量から地球・月・火星まわりの円形駐機軌道周期を比較し、毎回定数を再導出しません。科学コミュニケーターは半長軸を人間尺度の周期へ変え、衛星が一周するのにどれだけかかるかを答える展示に使います。すでに a がメートル、M がキログラムで、必要なのが秒の T だけのときはこのページを選んでください。
元問題が明示質量なしに同じ星の二つの惑星だけを与えるなら、その比の形は別の検索意図です。n 体暦、一般相対論的歳差、抗力で変わる寿命、ホーマン遷移時間には使わないでください。それらは入力の異なる隣の問いです。
活用例
CubeSat と LEO の周期スケッチ
計画した円軌道高度を半長軸に直し、地球質量と組み合わせ、完全な伝播器や通過計画の前にケプラー周期を秒で読みます。
GEO と駐機軌道の健全性確認
ミッション検討は、表形式の中心質量（キログラム）を用い、静止軌道級半径と地球・月・火星の低い駐機軌道でケプラー周期を比較します。
よくある質問
半長軸と質量にはどの単位を送ればよいですか？
キロメートル、AU、地球半径、太陽質量、地球質量は呼び出し前に換算し、周期が秒になるようにします。
半長軸や中心質量が正でないとどうなりますか？
零や負の a は閉じたケプラー楕円を定義できず、零や負の M はケプラーの第三法則の下で非物理的です。これらの失敗は課金されません。
衛星自身の質量は式に入りますか？
このモデルでは入りません。二体・中心質量近似は、衛星が M に比べて軽いこと、または換算質量がすでに送る質量に織り込まれていることを仮定します。
半長軸の代わりに軌道の高度を使うにはどうしますか？
高度に中心天体の平均半径を足してから入力してください。この法則で使うのは惑星の中心からの距離で、地表からの高さではないためです。
周期には大気抵抗などの影響が含まれますか？
含まれません。理想的な二体問題の周期です。大気抵抗、ほかの天体の引力、地球の扁平さ、放射圧、推力は実際の軌道を変えますが、ここでは考えません。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/phys/kepler-third-law \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"semi_major_axis":42164000,"mass":5.9722e+24}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/phys/kepler-third-law", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"semi_major_axis": 42164000,
"mass": 5.9722e+24
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/phys/kepler-third-law",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"semi_major_axis": 42164000,
"mass": 5.9722e+24
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/phys/kepler-third-law", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"semi_major_axis":42164000,"mass":5.9722e+24}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"semi_major_axis":42164000,"mass":5.9722e+24}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/phys/kepler-third-law", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"semi_major_axis": 42164000,
"mass": 5.9722e+24
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.kepler_third_law",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
semi_major_axis をメートル、mass をキログラムで入力すると、固定の CODATA の G を用いて period を秒で返すため、宿題・ミッションスケッチ・API テストが同じ定数を共有します。零や負は閉じたケプラー軌道として非物理的であり、静かな NaN ではなく invalid_input で失敗します。成功した API 呼び出しは $0.002 毎件で課金され、検証失敗は課金されません。
衛星に対するケプラーの第三法則と周期の式
衛星運用者が分・時・一日あたりの公転回数へ換算する量であり、このエンドポイントが返すフィールド period です。
入力、SI 単位、重力定数、およびエラー
必須の有限数を二つ含む JSON 本体を送ってください。semi_major_axis（別名 a、sma）はメートル、mass（別名 central_mass、M）はキログラムです。各フィールドは JSON 数値でも数値文字列でもよく、欠落、空文字、NaN、Infinity はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。成功時は整形済みの semi_major_axis と mass をエコーし、G を固定の CODATA 2018 定数（六点六七四三×十のマイナス十一乗）、mu を重力パラメータ G×M、period を秒の主結果、formula を閉形式の文字列、短い units オブジェクトを返し、クライアントが推測なしに SI を表示できるようにします。成功した API 呼び出しの料金は公開ベース $0.002 毎件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。
ケプラーの第三法則による衛星周期が使われる場面
本能力は純粋な parse エンジンのため、API 料金は成功件あたり公開ベース $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。リクエストは小さく保ち、丸めた周期をテストに固定すれば、宿題、LMS プラグイン、エッジワーカー向けに再現可能な秒が得られます。
連携の活用例
宿題・試験の解答キー
学習者は T = 2π√(a³/(GM)) の a と M を送り、採点側は返された秒周期を同じ閉形式と照合し、非正質量の意図的な拒否も含めます。
技術的な質問
このケプラーの第三法則計算機は軌道周期をどう求めますか？
a をメートル、M をキログラム、G を固定の CODATA 2018 として T = 2π √(a³ / (G·M)) を評価します。主結果は秒の period です。
ケプラーの第三法則計算機の料金はいくらですか？
ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功呼び出しあたり $0.002 の前払い残高を使い、不正入力は課金されません。