Distribución de Weibull

La distribución de Weibull es el instrumento habitual de la ingeniería de fiabilidad y del análisis de vidas: describe cuánto dura un componente, cómo se reparte la velocidad del viento y cómo el riesgo de fallo crece o mengua con la edad. Esta calculadora evalúa la densidad de probabilidad o la probabilidad acumulada en un punto x a partir de un parámetro de forma positivo y un parámetro de escala positivo. Una forma mayor que uno modela el desgaste, una forma igual a uno recupera la ley exponencial y una forma menor que uno modela la mortalidad infantil.

Cómo se definen el PDF y el CDF de Weibull

La distribución de Weibull de dos parámetros es una ley continua sobre la recta real no negativa, determinada por completo por un parámetro de forma k mayor que cero y un parámetro de escala λ mayor que cero. La densidad de probabilidad es idénticamente nula para todo x negativo. En un x no negativo vale (k dividido por λ) por (x dividido por λ) elevado a (k menos uno), multiplicado por la exponencial del opuesto de (x dividido por λ) elevado a k.

La función de distribución acumulada es la integral de esa densidad desde menos infinito hasta x: vale cero en los negativos y, para x en cero o por encima, uno menos la exponencial de menos (x sobre λ) elevado a k. Esas dos formas cerradas son lo que evalúa esta calculadora. La forma es el parámetro que se interpreta primero.

Cuando k vale uno, Weibull es exactamente la distribución exponencial de media λ y tasa de riesgo constante. Cuando k es mayor que uno el riesgo crece con la edad, que es el relato clásico de desgaste o fatiga de piezas mecánicas, rodamientos y hardware que envejece. Cuando k es menor que uno el riesgo disminuye, que es el relato de mortalidad infantil de defectos tempranos que fallan pronto y luego se estabilizan.

La escala estira o comprime el eje temporal sin cambiar la silueta de la curva: la vida mediana es λ por (el logaritmo natural de dos) elevado a uno sobre k, de modo que duplicar λ duplica cada cuantil. La evaluación es un puñado de logaritmos, potencias y exponenciales.

Dónde aporta valor una calculadora de la distribución de Weibull

Los ingenieros de fiabilidad y los planificadores de mantenimiento viven de los gráficos de Weibull: dada una forma ajustada a tiempos de fallo y una escala en horas o ciclos, necesitan la densidad o la probabilidad acumulada a una edad de inspección prevista, un horizonte de garantía o un intervalo de recambio.

Los analistas de energía eólica usan la misma familia de dos parámetros para la velocidad del viento a la altura del buje, y luego leen la densidad a una velocidad de arranque o la probabilidad acumulada por debajo de un umbral de parada. Los equipos de calidad y garantía convierten un Weibull ajustado en la chance de que una unidad ya haya fallado a una edad dada, que es exactamente el CDF a esa edad, sin montar un puesto de estadística para una consulta de tres números.

Los cursos introductorios de estadística y de actuaría asignan ejercicios de PDF y CDF de Weibull junto a los casos especiales exponencial y de Rayleigh, y necesitan un oráculo determinista en lugar de una simulación aleatoria que cambiaría entre ejecuciones. Los científicos de datos validan muestreadores de Monte Carlo de modelos de vida comparando frecuencias simuladas con la densidad y la acumulada en forma cerrada en un x modesto antes de escalar las extracciones.

Si más adelante necesita un Weibull de tres parámetros desplazado en localización, cuantiles inversos, tablas de riesgo o de supervivencia, ajuste de máxima verosimilitud a una muestra u otra familia de vidas como lognormal o gamma, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página.