Loi de Weibull
Obtenez la densité ou la probabilité cumulée de Weibull en un point : avec une forme de 2, une échelle de 1 et x égal à 1, la densité vaut 2/e. Au-dessus de 1, la forme traduit l'usure ; en dessous, des pannes précoces. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Forme
- 2
- Échelle
- 1
- X
- 1
- Type
- Probabilité
- 0,7357588823
La loi de Weibull est l'outil de référence de la fiabilité et de l'analyse des durées de vie : elle décrit combien de temps un composant tient, comment se répartissent les vitesses de vent, et comment le risque de défaillance croît ou décroît avec l'âge. Ce calculateur évalue la densité de probabilité ou la probabilité cumulée en un point x à partir d'un paramètre de forme positif et d'un paramètre d'échelle positif. Une forme plus grande que un modélise l'usure, une forme égale à un retrouve la loi exponentielle, et une forme plus petite que un modélise la mortalité infantile.
Comment le PDF et le CDF de Weibull sont définis
La loi de Weibull à deux paramètres est une loi continue sur la droite réelle non négative, entièrement déterminée par un paramètre de forme k strictement positif et un paramètre d'échelle λ strictement positif. La densité de probabilité est identiquement nulle pour tout x négatif. En un x non négatif elle vaut (k divisé par λ) fois (x divisé par λ) élevé à (k moins un), multiplié par l'exponentielle de l'opposé de (x divisé par λ) élevé à k.
La fonction de répartition est l'intégrale de cette densité de moins l'infini jusqu'à x : elle vaut zéro sur les négatifs et, pour x au moins égal à zéro, un moins l'exponentielle de moins (x sur λ) élevé à k. Ce sont ces deux formes fermées que ce calculateur évalue. La forme est le paramètre que l'on interprète en premier.
Lorsque k vaut un, Weibull est exactement la loi exponentielle de moyenne λ et de taux de hasard constant. Lorsque k est plus grand que un, le hasard croît avec l'âge, récit classique d'usure ou de fatigue pour pièces mécaniques, roulements et matériel qui vieillit. Lorsque k est plus petit que un, le hasard décroît, récit de mortalité infantile pour défauts précoces qui cassent vite puis se calment.
L'échelle étire ou comprime l'axe du temps sans changer la silhouette de la courbe : la durée de vie médiane est λ fois (le logarithme népérien de deux) élevé à un sur k, si bien que doubler λ double chaque quantile. L'évaluation tient en quelques logarithmes, puissances et exponentielles.
Où un calculateur de la loi de Weibull gagne sa place
Les ingénieurs de fiabilité et les planificateurs de maintenance vivent des graphes de Weibull : une forme ajustée sur des durées de défaillance et une échelle en heures ou en cycles, puis la densité ou la probabilité cumulée à un âge d'inspection prévu, un horizon de garantie ou un intervalle de remplacement. Les analystes de l'énergie éolienne utilisent la même famille à deux paramètres pour la vitesse du vent à hauteur de moyeu, puis lisent la densité à une vitesse de démarrage ou la probabilité cumulée sous un seuil d'arrêt.
Les équipes qualité et garantie transforment un Weibull ajusté en chance qu'une unité ait déjà failli à un âge donné, ce qui est exactement le CDF à cet âge, sans dresser un poste de statistique pour une requête à trois nombres. Les cours d'introduction à la statistique et à l'actuariat donnent des exercices de PDF et de CDF de Weibull à côté des cas particuliers exponentiel et de Rayleigh, et ils ont besoin d'un oracle déterministe plutôt que d'une simulation aléatoire qui changerait d'une exécution à l'autre.
Les scientifiques des données valident des échantillonneurs de Monte Carlo de modèles de durée de vie en comparant des fréquences simulées à la densité et à la cumulée en forme fermée pour un x modeste avant d'amplifier les tirages.
Si plus tard vous avez besoin d'un Weibull à trois paramètres décalé en localisation, de quantiles inverses, de tables de hasard ou de survie, d'un ajustement de maximum de vraisemblance sur un échantillon, ou d'une autre famille de durées de vie comme lognormale ou gamma, traitez-les comme des intentions de recherche distinctes plutôt que de surcharger cette page.
Cas d’usage
Fiabilité et âges de garantie
Évaluez la densité de Weibull ou la chance qu'une unité ait déjà failli à une inspection prévue, un horizon de garantie ou un intervalle de remplacement, à partir d'une forme et d'une échelle ajustées.
Corrigés de devoirs et d'examens
Calculez des valeurs de PDF et de CDF de Weibull de manuel pour la forme, l'échelle et x avec un oracle déterministe qui refuse les paramètres non positifs.
Simulateurs de vent et de durée de vie
Contrôlez des échantillonneurs de Monte Carlo de modèles Weibull de vent ou de durée de vie contre la densité et la cumulée en forme fermée en des points choisis avant d'amplifier les tirages.
Questions fréquentes
Quelle formule la loi de Weibull utilise-t-elle ?
Pour une forme k > 0 et une échelle λ > 0 le PDF est f(x) = (k/λ)(x/λ)^{k−1} exp(−(x/λ)^k) lorsque x ≥ 0 (et 0 lorsque x < 0). Le CDF est F(x) = 1 − exp(−(x/λ)^k) lorsque x ≥ 0 (et 0 lorsque x < 0).
Que se passe-t-il si la forme ou l'échelle n'est pas positive ?
Une loi de Weibull exige k > 0 et λ > 0 ; les valeurs nulles ou négatives sont rejetées et ne sont pas facturées.
Quelle est la différence entre kind pdf et kind cdf ?
pdf renvoie la densité de probabilité en x, qui peut être plus grande que un. cdf renvoie la probabilité cumulée P(X ≤ x), toujours comprise entre 0 et 1. La valeur par défaut est pdf.
Quels nombres devez-vous envoyer ?
Envoyez éventuellement kind comme pdf ou cdf (pdf par défaut). Les chaînes entières ou décimales sont acceptées. Shape et scale doivent être positifs.
Que révèle la valeur de la forme dans la loi de Weibull ?
Elle montre comment le risque de panne évolue avec l'âge. Au-dessus de 1, il augmente avec le temps, comme l'usure des roulements ; à 1 exactement, on retrouve la loi exponentielle à risque constant ; en dessous de 1, il diminue, comme pour les défauts précoces.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/weibull-distribution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"shape":2,"scale":1,"x":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/weibull-distribution", {
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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"scale": 1,
"x": 1
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"https://api.kit.forhosting.com/stat/weibull-distribution",
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/weibull-distribution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"shape":2,"scale":1,"x":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/weibull-distribution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"shape": 2,
"scale": 1,
"x": 1
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.weibull_distribution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les requêtes qui envoient une forme ou une échelle non positives échouent avec invalid_input au lieu d'inventer une densité.
Comment le PDF et le CDF de Weibull sont définis
À l'origine la densité n'est finie que lorsque k vaut au moins un ; si vous demandez le PDF en x égal à zéro avec une forme strictement inférieure à un, la valeur mathématique est infinie et ce point d'entrée refuse la requête au lieu de renvoyer un Infinity non JSON. Il n'y a ni tirage aléatoire, ni interpolation de tables, ni requête réseau, ni horloge, si bien que le même triplet de nombres produit toujours le même résultat IEEE.
Contrat d'entrée, champs de réponse et l'erreur de positivité
Les chaînes numériques sont acceptées afin que les widgets de formulaire envoient des champs texte sans conversion côté client. Les champs manquants, les chaînes vides, NaN et Infinity échouent de la même façon et ne sont pas facturés. Un x négatif est licite et renvoie la probabilité zéro, qui est le support du Weibull standard à deux paramètres. Demander le PDF en x égal à zéro avec shape un demi est rejeté parce que la densité diverge à l'origine. Envoyez un corps JSON avec trois nombres finis obligatoires et un kind optionnel. Shape est le k de Weibull (alias k ou alpha). Scale est le λ de Weibull (alias lambda ou theta). Le point d'évaluation est x (alias value ou t). Kind choisit la grandeur : pdf pour la densité de probabilité, ou cdf pour la probabilité cumulée F(X est au plus x) ; la valeur par défaut est pdf et l'alias function est aussi accepté. Shape et scale doivent tous deux être strictement positifs : une forme nulle ou négative, ou une échelle nulle ou négative, n'est pas une loi de Weibull, aussi le gestionnaire rejette la requête avec invalid_input en nommant le paramètre fautif. Kind doit être pdf ou cdf lorsqu'il est fourni ; tout autre jeton est invalid_input. En cas de succès le corps répète shape, scale et x nettoyés, renvoie kind comme pdf ou cdf, renvoie probability comme le double IEEE de cette grandeur, et fournit formula comme la chaîne de forme fermée correspondante. Contrôles classiques : shape deux, scale un, x un, kind pdf, qui donne la densité deux sur e ; et les mêmes nombres avec kind cdf, qui donne un moins un sur e. Le tarif des appels API réussis est la base publiée de $0.002 par élément ; l'outil du navigateur reste gratuit.
Où un calculateur de la loi de Weibull gagne sa place
Les enseignants construisent des corrigés et des auto-correcteurs qui figent une seule valeur IEEE pour shape, scale, x et kind. Comme cette capacité est un moteur parse pur, le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et une validation échouée ne consomme pas de solde. Gardez shape et scale strictement positifs, choisissez pdf ou cdf à dessein, et souvenez-vous qu'une densité peut dépasser un tandis qu'une probabilité cumulée reste toujours entre zéro et un.
Questions techniques
Combien coûte le calculateur de la loi de Weibull ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent un solde KIT prépayé à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.