Loi hypergéométrique

La loi hypergéométrique décrit combien d'éléments marqués vous observez lorsque vous tirez un échantillon de taille fixe sans jamais remettre quoi que ce soit. Une population finie de taille N contient exactement K états de succès ; vous effectuez n tirages ; X est le nombre de succès dans cet échantillon. Contrairement à un modèle binomial, chaque tirage modifie le mélange restant, de sorte que les essais successifs sont dépendants. Ce calculateur évalue la masse de probabilité P(X = k) à partir de ces quatre entiers, via le rapport combinatoire C(K, k) fois C(N moins K, n moins k) sur C(N, n).

Comment la loi hypergéométrique fonctionne sans remise

Parte d'une population finie de N éléments distincts dont exactement K sont étiquetés succès : as d'un jeu, défectueux d'un lot, poissons marqués d'un lac ou billets gagnants d'une urne. Vous tirez un échantillon de taille n sans remise, de sorte que chaque sous-ensemble de taille n est équiprobable et que l'ordre des tirages ne crée pas de combinaisons supplémentaires. Soit X le nombre de succès dans cet échantillon.

Alors X suit une loi hypergéométrique, et la probabilité d'observer exactement k succès est la combinaison C(K, k) multipliée par la combinaison C(N moins K, n moins k), divisée par la combinaison C(N, n). Le support de X n'est pas simplement de zéro à n : k ne peut dépasser ni K ni n, et ne peut tomber sous max(0, n moins (N moins K)), car vous pouvez être forcé de prendre quelques succès une fois le réservoir de non-succès épuisé.

Une vérification de cours claire est une urne de dix boules dont quatre rouges, en tirant trois et en demandant exactement une rouge : C(4, 1) fois C(6, 2) sur C(10, 3) vaut un demi. Un autre cas de manuel est un jeu de cinquante-deux cartes avec quatre as, en tirant cinq cartes et en demandant exactement deux as.

Cette implémentation n'utilise jamais d'échantillonnage de Monte Carlo, de graines aléatoires, d'horloge murale ni de requêtes réseau : elle évalue la masse en espace logarithmique pour que les produits intermédiaires restent sages pour un N plus grand, et renvoie aussi l'espérance en forme fermée n fois K sur N ainsi que la variance de population finie.

Contrat d'entrée, champs de réponse et l'erreur k face aux tirages

Les chaînes d'entiers numériques sont acceptées afin que les widgets de formulaire puissent envoyer des champs texte sans conversion côté client. La population doit se situer entre zéro et dix mille inclus. Les succès et les tirages doivent être non négatifs et ne peuvent pas dépasser la population.

Les champs manquants, non entiers, décimaux là où des entiers sont exigés, et les négatifs échouent de la même façon et ne sont pas facturés. Contrôles d'exemple : population dix, succès quatre, tirages trois, k un donne la probabilité un demi ; un jeu de cinquante-deux cartes avec quatre as, cinq cartes et deux as donne la masse classique de deux as.

Où un calculateur de loi hypergéométrique justifie son usage

Les cours d'introduction à la statistique et aux mathématiques discrètes demandent sans cesse la chance d'obtenir exactement k éléments marqués dans une main ou un échantillon tiré sans remise, des problèmes de cartes façon poker aux croquis de recapture de poissons marqués qui motivent l'échantillonnage de populations finies. Les ingénieurs qualité utilisent la même fonction de masse lorsqu'un lot de taille N contient K défectueux et qu'un inspecteur tire n unités, ayant besoin de la probabilité de trouver exactement k pièces mauvaises avant d'accepter ou de refuser le lot.

Les écologues et les concepteurs d'enquêtes comparent les reprises de marques observées aux espérances hypergéométriques lorsque le décompte marqué est connu et que l'échantillonnage se fait sans remise. Les data scientists valident des simulateurs de Monte Carlo d'urnes finies et de battages en comparant les fréquences échantillonnées à la masse en forme fermée pour un N modeste avant d'étendre les simulations. Les enseignants construisent des corrigés et des correcteurs automatiques qui ont besoin d'une seule valeur déterministe plutôt que d'une simulation aléatoire qui changerait d'une exécution à l'autre.

Si vous avez ensuite besoin d'une queue gauche cumulée, des tables du test exact de Fisher, de quantiles inverses ou d'odds binomiaux d'essais indépendants avec remise, traitez-les comme des intentions de recherche distinctes plutôt que de surcharger cette page. Gardez N dans la borne documentée pour que la latence du niveau gratuit reste prévisible, et souvenez-vous que la probabilité en virgule flottante convient au classement et aux seuils tandis que mean et variance décrivent le reste de la loi.