Distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica modela quantos itens marcados você observa ao extrair uma amostra de tamanho fixo sem devolver nada ao conjunto. Uma população finita de tamanho N contém exatamente K estados de sucesso; você faz n extrações; X é o número de sucessos nessa amostra. Diferente de um modelo binomial, cada extração muda a composição restante, de modo que os ensaios sucessivos são dependentes. Esta calculadora avalia a massa de probabilidade P(X = k) a partir desses quatro inteiros, usando o quociente combinatório C(K, k) vezes C(N menos K, n menos k) sobre C(N, n).

Como a distribuição hipergeométrica funciona sem reposição

Comece com uma população finita de N itens distintos dos quais exatamente K estão rotulados como sucesso: ases em um baralho, defeituosos em um lote, peixes marcados em um lago ou bilhetes premiados em uma urna. Você extrai uma amostra de tamanho n sem reposição, de modo que cada subconjunto de tamanho n é igualmente provável e a ordem das extrações não cria combinações extras. Seja X o número de sucessos nessa amostra.

Então X segue uma distribuição hipergeométrica, e a probabilidade de observar exatamente k sucessos é a combinação C(K, k) vezes a combinação C(N menos K, n menos k), dividida pela combinação C(N, n). O suporte de X não é simplesmente de zero a n: k não pode exceder K nem n, e não pode cair abaixo de max(0, n menos (N menos K)), porque você pode ser forçado a pegar alguns sucessos quando o depósito de não sucessos se esgota.

Uma checagem limpa de sala de aula é uma urna de dez bolas com quatro vermelhas, extraindo três e pedindo exatamente uma vermelha: C(4, 1) vezes C(6, 2) sobre C(10, 3) equivale a um meio. Outro caso de livro é um baralho de cinquenta e duas cartas com quatro ases, extraindo cinco cartas e pedindo exatamente dois ases.

Esta implementação nunca usa amostragem de Monte Carlo, sementes aleatórias, relógio de parede nem consultas de rede: avalia a massa em espaço logarítmico para que produtos intermediários se comportem bem com N maiores, e também devolve a média em forma fechada n vezes K sobre N e a variância de população finita.

Contrato de entrada, campos de resposta e o erro de k versus extrações

Cadeias de inteiros numéricos são aceitas para que widgets de formulário enviem campos de texto sem conversão no cliente. A população deve ficar entre zero e dez mil inclusive. Sucessos e extrações devem ser não negativos e não podem exceder a população.

Campos ausentes, não inteiros, decimais onde se exigem inteiros e negativos falham do mesmo modo e não são cobrados. Checagens de exemplo: população dez, sucessos quatro, extrações três, k um produz probabilidade um meio; um baralho de cinquenta e duas cartas com quatro ases, cinco cartas e dois ases produz a massa clássica de dois ases.

Onde uma calculadora da distribuição hipergeométrica justifica o uso

Cursos introdutórios de estatística e matemática discreta pedem constantemente a chance de exatamente k itens marcados em uma mão ou amostra extraída sem reposição, de problemas de cartas no estilo pôquer a esboços de recaptura de peixes marcados que motivam a amostragem de populações finitas. Engenheiros de qualidade usam a mesma função de massa quando um lote de tamanho N contém K defeituosos e um inspetor extrai n unidades, precisando da probabilidade de achar exatamente k peças ruins antes de aceitar ou rejeitar o lote.

Ecólogos e projetistas de pesquisas comparam recuperações de marcas observadas com expectativas hipergeométricas quando a contagem marcada é conhecida e a amostragem é sem reposição. Cientistas de dados validam simuladores de Monte Carlo de urnas finitas e embaralhamentos comparando frequências amostradas com a massa em forma fechada para N modestos antes de escalar as simulações. Educadores montam gabaritos e corretores automáticos que precisam de um único valor determinístico em vez de uma simulação aleatória que mudaria entre execuções.

Se mais tarde você precisar de uma cauda esquerda acumulada, tabelas do teste exato de Fisher, quantis inversos ou odds binomiais de ensaios independentes com reposição, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página. Mantenha N dentro do limite documentado para que a latência do nível gratuito fique previsível, e lembre-se de que a probabilidade em ponto flutuante é ideal para ranking e limiares enquanto mean e variance descrevem o restante da distribuição.