Distribuzione ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica descrive quanti elementi contrassegnati Lei osserva quando estrae un campione di ampiezza fissa e non rimette nulla nell'insieme. Una popolazione finita di ampiezza N contiene esattamente K stati di successo; Lei effettua n estrazioni; X è il numero di successi in quel campione. A differenza di un modello binomiale, ogni estrazione cambia la composizione residua, così le prove successive sono dipendenti. Questo calcolatore valuta la massa di probabilità P(X = k) a partire da quei quattro interi, tramite il rapporto combinatorio C(K, k) per C(N meno K, n meno k) su C(N, n).

Come funziona la distribuzione ipergeometrica senza reinserimento

Si parta da una popolazione finita di N elementi distinti di cui esattamente K sono etichettati come successo: assi in un mazzo, difettosi in un lotto, pesci marcati in un lago o biglietti vincenti in un'urna. Lei estrae un campione di ampiezza n senza reinserimento, così ogni sottoinsieme di ampiezza n è equiprobabile e l'ordine delle estrazioni non crea combinazioni extra. Sia X il numero di successi in quel campione.

Allora X segue una distribuzione ipergeometrica, e la probabilità di osservare esattamente k successi è la combinazione C(K, k) per la combinazione C(N meno K, n meno k), divisa per la combinazione C(N, n). Il supporto di X non è semplicemente da zero a n: k non può superare K né n, e non può scendere sotto max(0, n meno (N meno K)), perché Lei può essere costretto a prendere alcuni successi una volta esaurito il serbatoio dei non successi.

Un controllo pulito da aula è un'urna di dieci palline con quattro rosse, estraendo tre e chiedendo esattamente una rossa: C(4, 1) per C(6, 2) su C(10, 3) vale un mezzo. Un altro caso da manuale è un mazzo di cinquantadue carte con quattro assi, estraendo cinque carte e chiedendo esattamente due assi.

Questa implementazione non usa mai campionamento di Monte Carlo, semi casuali, orologio di parete né interrogazioni di rete: valuta la massa in spazio logaritmico affinché i prodotti intermedi restino ben educati per N più grandi, e restituisce anche la media in forma chiusa n per K su N e la varianza di popolazione finita.

Dove un calcolatore della distribuzione ipergeometrica merita il proprio spazio

I corsi introduttivi di statistica e matematica discreta chiedono di continuo la probabilità di esattamente k elementi contrassegnati in una mano o in un campione estratto senza reinserimento, dai problemi di carte in stile poker agli schizzi di ricattura di pesci marcati che motivano il campionamento di popolazioni finite.

Gli ingegneri della qualità usano la stessa funzione di massa quando un lotto di ampiezza N contiene K difettosi e un ispettore estrae n unità, avendo bisogno della probabilità di trovare esattamente k pezzi cattivi prima di accettare o rifiutare il lotto. Ecologi e progettisti di indagini confrontano i recuperi di marche osservati con le attese ipergeometriche quando il conteggio marcato è noto e il campionamento è senza reinserimento.

Gli scienziati dei dati convalidano simulatori di Monte Carlo di urne finite e rimescolamenti confrontando le frequenze campionate con la massa in forma chiusa per N modesti prima di scalare le simulazioni. Gli educatori costruiscono chiavi di risposta e correttori automatici che necessitano di un solo valore deterministico anziché di una simulazione casuale che cambierebbe tra le esecuzioni.

Se in seguito Le serve una coda sinistra cumulata, le tavole del test esatto di Fisher, i quantili inversi o gli odds binomiali di prove indipendenti con reinserimento, li tratti come intenti di ricerca distinti invece di sovraccaricare questa pagina. Tenga N entro il limite documentato così la latenza del livello gratuito resta prevedibile, e ricordi che la probabilità in virgola mobile è ideale per classifiche e soglie mentre mean e variance descrivono il resto della distribuzione.