Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt, wie viele markierte Stücke Sie beobachten, wenn Sie eine Stichprobe fester Größe ziehen und nichts zurücklegen. Eine endliche Grundgesamtheit der Größe N enthält genau K Erfolgszustände; Sie nehmen n Ziehungen vor; X ist die Zahl der Erfolge in dieser Stichprobe. Anders als bei einem Binomialmodell ändert jede Ziehung die verbleibende Mischung, sodass aufeinanderfolgende Versuche abhängig sind. Dieser Rechner wertet die Wahrscheinlichkeitsmasse P(X = k) aus diesen vier ganzen Zahlen aus, über das Kombinationsverhältnis C(K, k) mal C(N minus K, n minus k) durch C(N, n).

Wie die hypergeometrische Verteilung ohne Zurücklegen arbeitet

Beginnen Sie mit einer endlichen Grundgesamtheit von N unterscheidbaren Stücken, von denen genau K als Erfolg gekennzeichnet sind: Asse in einem Kartenspiel, Ausschuss in einem Los, markierte Fische in einem See oder Gewinnlose in einer Urne. Sie ziehen eine Stichprobe der Größe n ohne Zurücklegen, sodass jede Teilmenge der Größe n gleichwahrscheinlich ist und die Reihenfolge der Ziehungen keine zusätzlichen Kombinationen erzeugt. Sei X die Zahl der Erfolge in dieser Stichprobe.

Dann folgt X einer hypergeometrischen Verteilung, und die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu beobachten, ist die Kombination C(K, k) mal die Kombination C(N minus K, n minus k), geteilt durch die Kombination C(N, n). Der Träger von X ist nicht einfach null bis n: k darf weder K noch n überschreiten und darf nicht unter max(0, n minus (N minus K)) fallen, weil Sie gezwungen sein können, einige Erfolge zu nehmen, sobald der Vorrat an Nicht-Erfolgen erschöpft ist.

Eine saubere Unterrichtskontrolle ist eine Urne mit zehn Kugeln, davon vier rote, drei Ziehungen und genau eine Rote: C(4, 1) mal C(6, 2) durch C(10, 3) ergibt ein Halb. Ein weiterer Lehrbuchfall ist ein zweiundfünfzigblättriges Kartenspiel mit vier Assen, fünf Karten und genau zwei Assen. Diese Umsetzung nutzt niemals Monte-Carlo-Stichproben, Zufallskeime, Wanduhren oder Netzabfragen: Sie wertet die Masse im Log-Raum aus, damit Zwischenprodukte bei größerem N beherrschbar bleiben, und liefert außerdem den geschlossenen Mittelwert n mal K durch N sowie die Varianz der endlichen Grundgesamtheit.

Eingabevertrag, Antwortfelder und der Fehler k gegen Ziehungen

Numerische Ganzzahlzeichenketten werden angenommen, damit Formular-Widgets Textfelder ohne clientseitige Umwandlung senden können. Die Grundgesamtheit muss zwischen null und zehntausend einschließlich liegen. Erfolge und Ziehungen müssen nichtnegativ sein und dürfen die Grundgesamtheit nicht überschreiten.

Fehlende Felder, Nichtganze, Dezimalzahlen wo Ganze verlangt sind, und Negative scheitern auf dieselbe Weise und werden nicht berechnet. Beispielprüfungen: Grundgesamtheit zehn, Erfolge vier, Ziehungen drei, k eins ergibt Wahrscheinlichkeit ein Halb; ein zweiundfünfzigblättriges Spiel mit vier Assen, fünf Karten und zwei Assen ergibt die klassische Zwei-Asse-Masse.

Wo ein Rechner der hypergeometrischen Verteilung seinen Platz verdient

Einführende Statistik- und Diskrete-Mathematik-Kurse fragen ständig nach der Chance auf genau k markierte Stücke in einer Hand oder Stichprobe ohne Zurücklegen, von pokerartigen Kartenaufgaben bis zu Markierungs-Wiederfang-Skizzen, die das Ziehen aus endlichen Grundgesamtheiten motivieren. Qualitätsingenieure nutzen dieselbe Massenfunktion, wenn ein Los der Größe N K Ausschussteile enthält und ein Prüfer n Einheiten zieht und die Wahrscheinlichkeit braucht, genau k schlechte Stücke zu finden, bevor das Los angenommen oder abgelehnt wird. Ökologen und Umfragegestalter vergleichen beobachtete Markenrückläufe mit hypergeometrischen Erwartungen, wenn die markierte Anzahl bekannt ist und ohne Zurücklegen gezogen wird.

Datenwissenschaftler prüfen Monte-Carlo-Simulatoren endlicher Urnen und Kartenschläge, indem sie gezogene Häufigkeiten gegen die geschlossene Masse für bescheidenes N halten, bevor sie Simulationen skalieren. Lehrende bauen Antwortschlüssel und Autokorrektoren, die einen einzigen deterministischen Wert brauchen statt einer Zufallssimulation, die zwischen Läufen wechseln würde. Wenn Sie später eine kumulierte linke Schwanzwahrscheinlichkeit, Tabellen des exakten Tests nach Fisher, inverse Quantile oder binomiale Chancen unabhängiger Versuche mit Zurücklegen brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten statt diese Seite zu überladen.

Halten Sie N innerhalb der dokumentierten Grenze, damit die Latenz der kostenlosen Stufe vorhersehbar bleibt, und denken Sie daran, dass Gleitkommawahrscheinlichkeit ideal für Rangfolgen und Schwellen ist, während mean und variance den Rest der Verteilung beschreiben.