Distribución hipergeométrica

La distribución hipergeométrica modela cuántos elementos marcados observa usted cuando extrae una muestra de tamaño fijo y no devuelve nada al conjunto. Una población finita de tamaño N contiene exactamente K estados de éxito; usted realiza n extracciones; X es el número de éxitos en esa muestra. A diferencia de un modelo binomial, cada extracción cambia la composición restante, de modo que los ensayos sucesivos son dependientes. Esta calculadora evalúa la masa de probabilidad P(X = k) a partir de esos cuatro enteros, mediante el cociente combinatorio C(K, k) por C(N menos K, n menos k) sobre C(N, n).

Cómo funciona la distribución hipergeométrica sin reposición

Parta de una población finita de N elementos distintos de los cuales exactamente K están etiquetados como éxito: ases en una baraja, defectuosos en un lote, peces marcados en un lago o boletos premiados en una urna. Usted extrae una muestra de tamaño n sin reposición, de modo que cada subconjunto de tamaño n es igualmente probable y el orden de las extracciones no crea combinaciones adicionales. Sea X el número de éxitos en esa muestra.

Entonces X sigue una distribución hipergeométrica, y la probabilidad de observar exactamente k éxitos es la combinación C(K, k) por la combinación C(N menos K, n menos k), dividida por la combinación C(N, n). El soporte de X no es simplemente de cero a n: k no puede superar K ni n, y no puede bajar de max(0, n menos (N menos K)), porque usted puede verse obligado a tomar algunos éxitos una vez agotado el depósito de no éxitos.

Una comprobación limpia de aula es una urna de diez bolas con cuatro rojas, extrayendo tres y pidiendo exactamente una roja: C(4, 1) por C(6, 2) sobre C(10, 3) equivale a un medio. Otro caso de manual es una baraja de cincuenta y dos naipes con cuatro ases, extrayendo cinco cartas y pidiendo exactamente dos ases.

Esta implementación nunca usa muestreo de Monte Carlo, semillas aleatorias, reloj de pared ni consultas de red: evalúa la masa en espacio logarítmico para que los productos intermedios se comporten bien con N mayores, y también devuelve la media en forma cerrada n por K sobre N y la varianza de población finita.

Contrato de entrada, campos de respuesta y el error de k frente a extracciones

Se aceptan cadenas de enteros numéricos para que los widgets de formulario puedan enviar campos de texto sin conversión en el cliente. La población debe situarse entre cero y diez mil inclusive. Los éxitos y las extracciones deben ser no negativos y no pueden superar la población.

Los campos ausentes, no enteros, decimales donde se exigen enteros y los negativos fallan del mismo modo y no se facturan. Comprobaciones de ejemplo: población diez, éxitos cuatro, extracciones tres, k uno produce probabilidad un medio; una baraja de cincuenta y dos naipes con cuatro ases, cinco cartas y dos ases produce la masa clásica de dos ases.

Dónde aporta valor una calculadora de la distribución hipergeométrica

Los cursos introductorios de estadística y matemática discreta piden constantemente la probabilidad de exactamente k elementos marcados en una mano o muestra extraída sin reposición, desde problemas de naipes al estilo del póquer hasta bocetos de recaptura de peces marcados que motivan el muestreo de poblaciones finitas. Los ingenieros de calidad usan la misma función de masa cuando un lote de tamaño N contiene K defectuosos y un inspector extrae n unidades, necesitando la probabilidad de hallar exactamente k piezas malas antes de aceptar o rechazar el lote.

Ecólogos y diseñadores de encuestas comparan recuperaciones de marcas observadas con expectativas hipergeométricas cuando se conoce el conteo de marcados y el muestreo es sin reposición. Los científicos de datos validan simuladores de Monte Carlo de urnas finitas y barajas comparando frecuencias muestreadas con la masa en forma cerrada para N modestos antes de escalar las simulaciones. Los educadores construyen claves de respuesta y autoevaluadores que necesitan un único valor determinista en lugar de una simulación aleatoria que cambiaría entre ejecuciones.

Si más adelante necesita una cola izquierda acumulada, tablas de la prueba exacta de Fisher, cuantiles inversos u odds binomiales de ensayos independientes con reposición, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página. Mantenga N dentro del límite documentado para que la latencia del nivel gratuito sea previsible, y recuerde que la probabilidad en coma flotante es ideal para ranking y umbrales mientras que mean y variance describen el resto de la distribución.