Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung ist das Arbeitspferd der Zuverlässigkeitstechnik und der Lebensdaueranalyse: Sie beschreibt, wie lange ein Bauteil hält, wie Windgeschwindigkeiten verteilt sind und wie das Ausfallrisiko mit dem Alter wächst oder schrumpft. Dieser Rechner wertet die Wahrscheinlichkeitsdichte oder die kumulierte Wahrscheinlichkeit an einem Punkt x aus einer positiven Form und einer positiven Skala aus. Eine Form größer als eins modelliert Verschleiß, eine Form gleich eins liefert das Exponentialgesetz, und eine Form kleiner als eins modelliert Frühausfälle.

Wie PDF und CDF der Weibull-Verteilung definiert sind

Die zweiparametrige Weibull-Verteilung ist ein stetiges Gesetz auf der nichtnegativen reellen Geraden, vollständig bestimmt durch einen Formparameter k größer als null und einen Skalenparameter λ größer als null. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist identisch null für jedes negative x. An einem nichtnegativen x beträgt sie (k geteilt durch λ) mal (x geteilt durch λ) hoch (k minus eins), multipliziert mit der Exponentialfunktion des Negativen von (x geteilt durch λ) hoch k.

Die Verteilungsfunktion ist das Integral dieser Dichte von minus unendlich bis x: Sie ist null auf den Negativen und für x bei null oder darüber gleich eins minus der Exponentialfunktion von minus (x über λ) hoch k. Diese zwei geschlossenen Formen wertet dieser Rechner aus. Die Form ist der Parameter, den man zuerst deutet.

Wenn k gleich eins ist, ist Weibull genau die Exponentialverteilung mit Mittelwert λ und konstanter Ausfallrate. Wenn k größer als eins ist, steigt die Ausfallrate mit dem Alter: die klassische Verschleiß- oder Ermüdungsgeschichte für Maschinenteile, Lager und alternde Hardware. Wenn k kleiner als eins ist, sinkt die Ausfallrate: die Frühausfallgeschichte für frühe Defekte, die rasch versagen und sich dann beruhigen.

Die Skala streckt oder staucht die Zeitachse, ohne die Kurvenform zu ändern: die mediane Lebensdauer ist λ mal (der natürliche Logarithmus von zwei) hoch eins durch k, sodass eine Verdopplung von λ jedes Quantil verdoppelt. Die Auswertung ist eine Handvoll Logarithmen, Potenzen und Exponentialfunktionen.

Wo ein Rechner der Weibull-Verteilung seinen Platz verdient

Zuverlässigkeitsingenieure und Instandhaltungsplaner leben von Weibull-Diagrammen: eine aus Ausfallzeiten angepasste Form und eine Skala in Stunden oder Zyklen, dann Dichte oder kumulierte Wahrscheinlichkeit in einem geplanten Inspektionsalter, einem Gewährleistungshorizont oder einem Austauschintervall. Windenergie-Analysten nutzen dieselbe zweiparametrige Familie für die Windgeschwindigkeit in Nabenhöhe und lesen dann die Dichte an einer Anlaufgeschwindigkeit oder die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter einer Abschaltschwelle.

Qualitäts- und Gewährleistungsteams wandeln eine angepasste Weibull-Verteilung in die Chance, dass ein Stück bis zu einem gegebenen Alter bereits ausgefallen ist — genau das CDF in diesem Alter — ohne einen Statistikarbeitsplatz für eine Drei-Zahlen-Anfrage aufzustellen. Einführende Statistik- und Aktuariatskurse geben PDF- und CDF-Übungen zur Weibull-Verteilung neben den Sonderfällen Exponential und Rayleigh und brauchen ein deterministisches Orakel statt einer Zufallssimulation, die zwischen Läufen wechseln würde. Datenwissenschaftler prüfen Monte-Carlo-Zieher von Lebensdauermodellen, indem sie simulierte Häufigkeiten mit der geschlossenen Dichte und Kumulierten bei bescheidenem x vergleichen, bevor sie die Ziehungen skalieren.

Wenn Sie später eine dreiparametrige, lageverschobene Weibull-Verteilung, inverse Quantile, Ausfall- oder Überlebenstafeln, Maximum-Likelihood-Anpassung an eine Stichprobe oder eine andere Lebensdauerfamilie wie Lognormal oder Gamma brauchen, behandeln Sie das als eigene Suchabsichten statt diese Seite zu überladen.