Distribuzione di Weibull

La distribuzione di Weibull è lo strumento consueto dell'ingegneria dell'affidabilità e dell'analisi delle durate di vita: descrive quanto dura un componente, come si ripartiscono le velocità del vento e come il rischio di guasto cresce o cala con l'età. Questo calcolatore valuta la densità di probabilità o la probabilità cumulata in un punto x a partire da un parametro di forma positivo e da un parametro di scala positivo. Una forma maggiore di uno modella l'usura, una forma uguale a uno recupera la legge esponenziale e una forma minore di uno modella la mortalità infantile.

Come sono definiti il PDF e il CDF di Weibull

La distribuzione di Weibull a due parametri è una legge continua sulla retta reale non negativa, interamente determinata da un parametro di forma k maggiore di zero e da un parametro di scala λ maggiore di zero. La densità di probabilità è identicamente nulla per ogni x negativo. In un x non negativo vale (k diviso per λ) per (x diviso per λ) elevato a (k meno uno), moltiplicato per l'esponenziale dell'opposto di (x diviso per λ) elevato a k.

La funzione di ripartizione è l'integrale di quella densità da meno infinito fino a x: vale zero sui negativi e, per x pari a zero o superiore, uno meno l'esponenziale di meno (x su λ) elevato a k. Quelle due forme chiuse sono ciò che questo calcolatore valuta. La forma è il parametro che si interpreta per primo.

Quando k vale uno, Weibull è esattamente la distribuzione esponenziale con media λ e tasso di rischio costante. Quando k è maggiore di uno il rischio cresce con l'età, che è il racconto classico di usura o fatica per parti meccaniche, cuscinetti e hardware che invecchia. Quando k è minore di uno il rischio diminuisce, che è il racconto di mortalità infantile per difetti precoci che si guastano in fretta e poi si stabilizzano.

La scala stira o comprime l'asse del tempo senza cambiare la sagoma della curva: la vita mediana è λ per (il logaritmo naturale di due) elevato a uno su k, così raddoppiare λ raddoppia ogni quantile. La valutazione è una manciata di logaritmi, potenze ed esponenziali.

Dove un calcolatore della distribuzione di Weibull merita il posto

Gli ingegneri dell'affidabilità e i pianificatori della manutenzione vivono sui grafici di Weibull: data una forma adattata ai tempi di guasto e una scala in ore o cicli, serve la densità o la probabilità cumulata a un'età di ispezione pianificata, un orizzonte di garanzia o un intervallo di sostituzione. Gli analisti dell'energia eolica usano la stessa famiglia a due parametri per la velocità del vento all'altezza del mozzo, poi leggono la densità a una velocità di avvio o la probabilità cumulata sotto una soglia di arresto.

I gruppi di qualità e garanzia convertono un Weibull adattato nella chance che un'unità sia già guasta a una data età, che è esattamente il CDF a quella età, senza allestire una postazione di statistica per una query di tre numeri. I corsi introduttivi di statistica e di scienze attuariali assegnano esercizi di PDF e CDF di Weibull accanto ai casi speciali esponenziale e di Rayleigh, e necessitano di un oracolo deterministico piuttosto che di una simulazione casuale che cambierebbe tra un'esecuzione e l'altra.

Gli scienziati dei dati convalidano campionatori di Monte Carlo di modelli di vita confrontando frequenze simulate con la densità e la cumulata in forma chiusa a un x modesto prima di scalare le estrazioni. Se in seguito Le serviranno un Weibull a tre parametri traslato in localizzazione, quantili inversi, tabelle di rischio o di sopravvivenza, adattamento di massima verosimiglianza da un campione, o un'altra famiglia di vite come lognormale o gamma, li tratti come intenzioni di ricerca separate invece di sovraccaricare questa pagina.