Suma total de cuadrados

La suma total de cuadrados mide la dispersión global de unos valores numéricos observados alrededor de su media aritmética. Para cada observación, la calculadora resta la media, eleva al cuadrado la desviación y suma todas esas cantidades. El resultado también se denomina suma de cuadrados total corregida y suele escribirse SST o TSS. Es la cantidad sin normalizar que sustenta la varianza poblacional, la varianza muestral, el análisis de varianza y varios diagnósticos de regresión. Proporcione un arreglo no vacío de números finitos y recibirá el número de observaciones, la media y la suma total de cuadrados. Un arreglo vacío se rechaza porque su media y, por tanto, sus desviaciones no están definidas.

Cómo se calcula la suma total de cuadrados

Comience con un arreglo no vacío de valores observados. La calculadora suma primero todos los valores y divide el total por el número de observaciones para obtener la media aritmética. Después recorre los datos por segunda vez.

Para cada observación, resta la media, eleva al cuadrado la desviación resultante y añade ese cuadrado a un total acumulado. En notación, el resultado es la suma de (x menos x barra) al cuadrado para todas las observaciones. Elevar al cuadrado es esencial, pues de otro modo las desviaciones situadas por debajo y por encima de la media se cancelarían.

El cálculo devuelve cero cuando todas las observaciones son idénticas, incluso si el arreglo contiene un solo número, porque cada valor coincide entonces con la media. Los resultados mayores indican más dispersión agregada, aunque su magnitud depende tanto de la escala numérica como del número de observaciones. Esta implementación utiliza aritmética determinista con números finitos y nunca consulta servicios de red, el reloj ni fuentes aleatorias.

Se rechazan cadenas, valores nulos, NaN e infinito, en lugar de convertirlos silenciosamente, para que la estadística corresponda exactamente al arreglo numérico proporcionado.

Cómo interpretar TSS y relacionarla con la varianza

La suma total de cuadrados es una medida de dispersión no normalizada. Indica cuánta distancia cuadrática acumula todo el arreglo observado respecto de su propia media, no cuánta corresponde a una observación promedio. La varianza poblacional se obtiene dividiendo TSS por n; la varianza muestral insesgada habitual divide el mismo numerador por n menos uno cuando hay al menos dos observaciones.

Conservar TSS por separado resulta útil porque muchas fórmulas estadísticas trabajan con este numerador antes de elegir un denominador. En el análisis de varianza, una suma total de cuadrados puede descomponerse en componentes explicados y residuales. En regresión, comparar las sumas de cuadrados total y residual ayuda a formar el coeficiente de determinación.

Las unidades requieren atención: si las observaciones se miden en metros, TSS se expresa en metros cuadrados. Por ello, solo conviene comparar directamente resultados de conjuntos con unidades y escalas compatibles. Un arreglo más largo también puede arrojar una TSS mayor simplemente porque contiene más desviaciones.

Para comparar ajustando por tamaño, use la varianza o desviación estándar apropiada después de decidir si los valores representan una población completa o una muestra.

Reglas de entrada, validación y usos prácticos

El orden de las observaciones no modifica la respuesta y los valores repetidos se conservan, pues cada aparición es una observación real. Se admiten enteros, decimales, valores negativos y cero. Entre los usos habituales se encuentran preparar cálculos ANOVA, comprobar ejercicios de regresión, derivar la varianza poblacional o muestral, validar fórmulas de hojas de cálculo y crear datos deterministas para probar software estadístico.

Por ejemplo, las observaciones 2, 4, 6 y 8 tienen media 5; sus desviaciones cuadráticas son 9, 1, 1 y 9, por lo que TSS vale 20. Las solicitudes inválidas se rechazan antes de devolver una estadística significativa.