Soma total dos quadrados

A soma total dos quadrados mede a dispersão global de valores numéricos observados em torno da média aritmética. Para cada observação, a calculadora subtrai a média, eleva o desvio ao quadrado e soma todos os desvios quadráticos. O resultado também é chamado de soma de quadrados total corrigida e costuma ser representado por SST ou TSS. Essa é a quantidade não normalizada por trás da variância populacional, da variância amostral, da análise de variância e de vários diagnósticos de regressão. Forneça um array não vazio de números finitos para receber a quantidade de observações, a média e a soma total dos quadrados. Um array vazio é rejeitado porque sua média e, portanto, seus desvios não são definidos.

Como a soma total dos quadrados é calculada

Comece com um array não vazio de valores observados. Primeiro, a calculadora soma todos os valores e divide o total pela quantidade de observações para obter a média aritmética. Em seguida, percorre os dados uma segunda vez.

Para cada observação, subtrai a média, eleva o desvio resultante ao quadrado e acrescenta esse valor a um total acumulado. Em notação, o resultado é a soma de (x menos x barra) ao quadrado para todas as observações. Elevar ao quadrado é necessário porque, sem isso, os desvios abaixo e acima da média se anulariam.

O cálculo retorna zero quando todas as observações são idênticas, inclusive quando o array contém apenas um número, pois cada valor coincide com a média. Resultados maiores indicam maior dispersão agregada, mas a magnitude depende da escala numérica e da quantidade de observações. Esta implementação utiliza aritmética determinística com números finitos e nunca acessa serviços de rede, relógio ou aleatoriedade.

Strings, valores nulos, NaN e infinito são rejeitados em vez de convertidos silenciosamente, garantindo que a estatística corresponda exatamente ao array numérico informado por você.

Como interpretar TSS e relacioná-la à variância

A soma total dos quadrados é uma medida de dispersão não normalizada. Ela informa quanta distância quadrática todo o array observado acumula em relação à própria média, e não quanta distância cabe a uma observação média. A variância populacional é obtida dividindo TSS por n, enquanto a variância amostral não tendenciosa usual divide o mesmo numerador por n menos um quando existem ao menos duas observações.

Manter TSS separada é útil porque muitas fórmulas estatísticas trabalham com esse numerador antes de escolher um denominador. Na análise de variância, a soma total dos quadrados pode ser decomposta em componentes explicado e residual. Na regressão, a comparação entre as somas de quadrados total e residual ajuda a formar o coeficiente de determinação.

Observe as unidades: se as observações são medidas em metros, TSS é expressa em metros quadrados. Portanto, só compare diretamente resultados de conjuntos com unidades e escalas compatíveis. Um array maior também pode produzir TSS maior apenas por conter mais desvios.

Para comparações ajustadas ao tamanho, use a variância ou o desvio padrão adequado depois de decidir se os valores representam uma população completa ou uma amostra.

Regras de entrada, validação e usos práticos

A ordem das observações não altera a resposta, e valores repetidos são preservados porque cada ocorrência representa uma observação real. Inteiros, decimais, valores negativos e zero são aceitos. Entre os usos comuns estão preparar cálculos de ANOVA, verificar exercícios de regressão, derivar variância populacional ou amostral, validar fórmulas de planilhas e criar dados determinísticos para testes de software estatístico.

Por exemplo, as observações 2, 4, 6 e 8 têm média 5; seus desvios quadráticos são 9, 1, 1 e 9, logo TSS é 20. Solicitações inválidas são rejeitadas antes que uma estatística significativa seja retornada.