Somme totale des carrés

La somme totale des carrés mesure la dispersion globale de valeurs numériques observées autour de leur moyenne arithmétique. Pour chaque observation, le calculateur soustrait la moyenne, élève cet écart au carré, puis additionne tous les écarts quadratiques. Le résultat, également appelé somme totale corrigée des carrés, se note souvent SST ou TSS. Il s’agit de la grandeur non normalisée qui sous-tend la variance de population, la variance d’échantillon, l’analyse de variance et plusieurs diagnostics de régression. Fournissez un tableau non vide de nombres finis pour obtenir l’effectif, la moyenne et la somme totale des carrés. Un tableau vide est refusé, car sa moyenne et donc ses écarts ne sont pas définis.

Méthode de calcul de la somme totale des carrés

Partez d’un tableau non vide de valeurs observées. Le calculateur additionne d’abord toutes les valeurs, puis divise cette somme par le nombre d’observations afin d’obtenir la moyenne arithmétique. Il parcourt ensuite les données une seconde fois.

Pour chaque observation, il soustrait la moyenne, élève l’écart obtenu au carré et ajoute ce carré à un total cumulatif. En notation, le résultat est la somme de (x moins x barre) au carré sur toutes les observations. La mise au carré est indispensable, car les écarts inférieurs et supérieurs à la moyenne s’annuleraient autrement.

Le résultat vaut zéro lorsque toutes les observations sont identiques, y compris lorsque le tableau ne contient qu’un nombre, puisque chaque valeur est alors égale à la moyenne. Une valeur élevée signale une dispersion agrégée plus forte, mais son ordre de grandeur dépend de l’échelle numérique et de l’effectif. Cette implémentation emploie une arithmétique déterministe sur des nombres finis, sans réseau, horloge ni hasard.

Les chaînes, valeurs nulles, NaN et l’infini sont refusés plutôt que convertis silencieusement, afin que la statistique corresponde exactement au tableau numérique fourni.

Interpréter TSS et la relier à la variance

La somme totale des carrés est une mesure de dispersion non normalisée. Elle indique la distance quadratique cumulée de tout le tableau observé à sa propre moyenne, et non la distance quadratique d’une observation moyenne. La variance de population s’obtient en divisant TSS par n.

La variance d’échantillon non biaisée usuelle divise le même numérateur par n moins un lorsqu’au moins deux observations sont disponibles. Conserver TSS séparément est utile, car de nombreuses formules statistiques utilisent ce numérateur avant de choisir un dénominateur. En analyse de variance, la somme totale des carrés peut être décomposée en composantes expliquée et résiduelle.

En régression, la comparaison des sommes totale et résiduelle contribue au calcul du coefficient de détermination. Les unités exigent de la prudence : si les observations sont exprimées en mètres, TSS est exprimée en mètres carrés. Ne comparez donc directement que des jeux de données aux unités et échelles compatibles.

Un tableau plus long peut aussi produire une TSS supérieure simplement parce qu’il contient davantage d’écarts. Pour des comparaisons ajustées à la taille, utilisez la variance ou l’écart-type approprié après avoir déterminé si les valeurs constituent une population complète ou un échantillon.

Règles de saisie, validation et usages pratiques

L’ordre des observations ne change pas le résultat et les valeurs répétées sont conservées, car chaque occurrence constitue une observation réelle. Les entiers, décimaux, valeurs négatives et zéros sont acceptés. Les usages courants comprennent la préparation d’une ANOVA, la vérification d’exercices de régression, la dérivation d’une variance de population ou d’échantillon, le contrôle de formules de tableur et la création de jeux de test déterministes pour un logiciel statistique.

Par exemple, les observations 2, 4, 6 et 8 ont une moyenne de 5 ; leurs écarts quadratiques valent 9, 1, 1 et 9, donc TSS vaut 20. Les requêtes invalides sont refusées avant tout résultat statistique exploitable.