Gesamtquadratsumme
Messen Sie die gesamte Streuung einer Datenreihe um ihren Mittelwert: Für 2, 4, 6 und 8 ist der Mittelwert 5 und die Gesamtquadratsumme 20. Anzahl und Mittelwert werden zur Kontrolle mit angezeigt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Beobachtet
- 2, 4, 6, 8
- N
- 4
- Mittelwert
- 5
- Gesamtquadratsumme
- 20
Die Gesamtquadratsumme misst die gesamte Streuung beobachteter Zahlenwerte um ihr arithmetisches Mittel. Der Rechner zieht von jeder Beobachtung den Mittelwert ab, quadriert diese Abweichung und addiert sämtliche Abweichungsquadrate. Das Ergebnis heißt auch korrigierte totale Quadratsumme und wird häufig als SST oder TSS bezeichnet. Es ist die nicht normierte Größe hinter Populationsvarianz, Stichprobenvarianz, Varianzanalyse und verschiedenen Regressionsdiagnosen. Geben Sie ein nicht leeres Array endlicher Zahlen ein; Sie erhalten die Anzahl der Beobachtungen, den Mittelwert und die Gesamtquadratsumme. Ein leeres Array wird abgelehnt, da dafür weder ein Mittelwert noch Abweichungen definiert sind.
So wird die Gesamtquadratsumme berechnet
Ausgangspunkt ist ein nicht leeres Array beobachteter Werte. Der Rechner addiert zunächst alle Werte und teilt die Summe durch die Anzahl der Beobachtungen, um das arithmetische Mittel zu bestimmen. Danach durchläuft er die Daten ein zweites Mal.
Für jede Beobachtung zieht er den Mittelwert ab, quadriert die entstandene Abweichung und addiert das Quadrat zu einer laufenden Summe. In mathematischer Schreibweise ist das Ergebnis die Summe von (x minus x quer) zum Quadrat über alle Beobachtungen. Das Quadrieren ist notwendig, weil sich Abweichungen unterhalb und oberhalb des Mittelwerts sonst gegenseitig aufheben würden.
Sind alle Beobachtungen identisch, ergibt die Berechnung null. Das gilt auch für ein Array mit nur einer Zahl, denn jeder Wert entspricht dann dem Mittelwert. Größere Ergebnisse bedeuten mehr Gesamtstreuung; ihre Höhe hängt jedoch sowohl von der Zahlenskala als auch von der Beobachtungsanzahl ab.
Diese Implementierung verwendet ausschließlich deterministische Arithmetik mit endlichen Zahlen und greift weder auf Netzwerk, Uhrzeit noch Zufall zu. Zeichenketten, Nullwerte, NaN und Unendlich werden abgelehnt statt stillschweigend umgewandelt, damit die Statistik genau dem eingegebenen Zahlenarray entspricht.
TSS interpretieren und mit der Varianz verknüpfen
Die Gesamtquadratsumme ist ein nicht normiertes Streuungsmaß. Sie beschreibt, wie viel quadrierter Abstand das gesamte beobachtete Array zu seinem eigenen Mittelwert aufweist, nicht den durchschnittlichen quadrierten Abstand einer einzelnen Beobachtung. Die Populationsvarianz erhalten Sie, indem Sie TSS durch n teilen.
Die übliche unverzerrte Stichprobenvarianz teilt denselben Zähler bei mindestens zwei Beobachtungen durch n minus eins. TSS getrennt auszuweisen ist sinnvoll, weil viele statistische Formeln zunächst mit diesem Zähler arbeiten und erst später einen Nenner wählen. In der Varianzanalyse lässt sich die Gesamtquadratsumme in erklärte und residuale Komponenten zerlegen.
Bei einer Regression trägt der Vergleich zwischen totaler und residualer Quadratsumme zur Bildung des Bestimmtheitsmaßes bei. Beachten Sie auch die Einheiten: Werden Beobachtungen in Metern gemessen, besitzt TSS die Einheit Quadratmeter. Vergleichen Sie Ergebnisse daher nur direkt, wenn Datensätze kompatible Einheiten und Skalen verwenden.
Ein längeres Array kann allein wegen der größeren Anzahl von Abweichungen eine höhere TSS liefern. Für größenbereinigte Vergleiche verwenden Sie die geeignete Varianz oder Standardabweichung, nachdem Sie entschieden haben, ob die Werte eine vollständige Population oder eine Stichprobe darstellen.
Eingaberegeln, Validierung und praktische Anwendungen
Die Reihenfolge der Beobachtungen beeinflusst das Ergebnis nicht. Wiederholte Werte bleiben erhalten, weil jedes Vorkommen eine echte Beobachtung darstellt. Zulässig sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Werte und null.
Mit diesen Feldern können Sie das Ergebnis leicht prüfen: Kontrollieren Sie Anzahl und Mittelwert, bevor Sie TSS in einer weiteren Formel verwenden. Typische Anwendungen sind die Vorbereitung einer ANOVA, die Kontrolle von Regressionsaufgaben, die Ableitung von Populations- oder Stichprobenvarianz, die Prüfung von Tabellenkalkulationsformeln und deterministische Testdaten für Statistiksoftware. Beispielsweise haben die Beobachtungen 2, 4, 6 und 8 den Mittelwert 5; ihre Abweichungsquadrate sind 9, 1, 1 und 9, sodass TSS 20 beträgt.
Ungültige Anfragen werden abgewiesen, bevor eine aussagekräftige Statistik ausgegeben wird.
Anwendungsfälle
Vorbereitung einer ANOVA
Berechnen Sie die korrigierte Gesamtvariabilität, die anschließend in Quadratsummen zwischen und innerhalb von Gruppen zerlegt werden kann.
Überprüfung der Varianz
Prüfen Sie den gemeinsamen Zähler von Populations- und Stichprobenvarianz, bevor Sie den passenden Nenner anwenden.
Regression und Tabellenkalkulation testen
Erzeugen Sie deterministische TSS-Werte für Regressionsdiagnosen, Lehrmaterial, automatisierte Tests und Formelprüfungen.
Häufige Fragen
Was ist die Gesamtquadratsumme?
Sie ist die Summe der quadrierten Differenzen zwischen jedem beobachteten Wert und dem arithmetischen Mittel aller Beobachtungen.
Ist die Gesamtquadratsumme dasselbe wie die Varianz?
Nein. TSS ist der Zähler der Varianz. Die Populationsvarianz teilt ihn durch n, die Stichprobenvarianz üblicherweise durch n minus eins.
Kann die Gesamtquadratsumme null sein?
Ja. Sie ist null, wenn alle Beobachtungen identisch sind, auch im Sonderfall eines Arrays mit nur einem Wert.
Wie berechne ich die Gesamtquadratsumme von Hand?
Bilden Sie den Mittelwert, ziehen Sie ihn von jedem Wert ab, quadrieren Sie jede Differenz und addieren Sie alles. Bei 2, 4, 6 und 8 ist der Mittelwert 5, die quadrierten Abweichungen sind 9, 1, 1 und 9, die Summe ist 20.
In welcher Einheit wird die Gesamtquadratsumme angegeben?
Im Quadrat der Einheit Ihrer Daten: Werte in Metern ergeben ein Ergebnis in Quadratmetern. Vergleichen Sie deshalb nur Summen von Datenreihen, die auf derselben Skala gemessen wurden.
Wofür braucht man die Gesamtquadratsumme in ANOVA und Regression?
In der Varianzanalyse wird sie in einen erklärten und einen Restanteil zerlegt. In der Regression ergibt ihr Vergleich mit der Residuenquadratsumme das Bestimmtheitsmaß, das Sie als R² kennen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/total-sum-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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-d '{"observed":[2,4,6,8]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/total-sum-squares", {
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4,
6,
8
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/total-sum-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"observed": [
2,
4,
6,
8
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/total-sum-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
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"content" => '{"observed":[2,4,6,8]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"observed":[2,4,6,8]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/total-sum-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"observed": [
2,
4,
6,
8
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.total_sum_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
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Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
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404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eingaberegeln, Validierung und praktische Anwendungen
Senden Sie ein Objekt, dessen Feld observed ein JSON-Array mit mindestens einer endlichen Zahl enthält. Leere Arrays führen ebenso zu invalid_input wie ein fehlendes Feld oder Elemente, die keine endlichen JSON-Zahlen sind. Bei Erfolg enthält die Antwort n, das arithmetische Mittel und total_sum_squares. Die Berechnung im Browser ist kostenlos; erfolgreiche API-Anfragen kosten den veröffentlichten Grundpreis von $0.002 pro Element.
Technische Fragen
Was geschieht bei einem leeren observed-Array?
Die Anfrage schlägt mit invalid_input fehl, weil ein leeres Array kein arithmetisches Mittel besitzt und seine Gesamtquadratsumme nicht definiert ist.
Was kostet der Rechner?
Der Browser-Rechner ist kostenlos. Eine erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002 pro Element; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.