Quociente de números complexos na forma polar
Dividir 8∠150° por 2∠30° dá 4∠120°, ou seja, −2 + 3,464101615138i. Informe cada número complexo como módulo e argumento, em graus ou radianos, e receba o quociente na forma polar e como parte real e imaginária. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Módulo do numerador
- 8
- Argumento do numerador
- 150
- Módulo do denominador
- 2
- Argumento do denominador
- 30
- Unidade de ângulo
- Deg
- Módulo do quociente
- 4
- Diferença de argumentos
- 120
- Argumento do quociente
- 120
- Forma polar
- 4∠120°
Esta calculadora de quociente de números complexos na forma polar executa a operação que essa notação torna especialmente simples: divide o módulo do numerador pelo módulo do denominador e subtrai o argumento do denominador do argumento do numerador. Informe cada número por seu módulo e argumento, escolha graus ou radianos e receba o quociente como valor polar normalizado, além das componentes real e imaginária. O cálculo é determinístico, funciona sem acesso à rede e mantém visível a diferença intermediária dos argumentos para que você possa conferir todas as partes do resultado.
Por que a divisão fica mais simples na forma polar
Um número complexo diferente de zero pode ser escrito como r∠θ ou, de modo equivalente, como r(cos θ + i sin θ), em que r é o módulo não negativo e θ é um argumento. Quando um número complexo polar é dividido por outro, a regra separa o cálculo em duas operações comuns: dividir os módulos e subtrair os argumentos. Para o numerador r₁∠θ₁ e o denominador r₂∠θ₂, o resultado é (r₁/r₂)∠(θ₁−θ₂), desde que r₂ seja maior que zero.
Isso funciona porque a divisão desfaz a multiplicação: as magnitudes são escaladas pelo módulo recíproco, enquanto as rotações são revertidas pelo ângulo do denominador. A calculadora aplica essa identidade diretamente, sem converter primeiro as entradas para a forma retangular. Ela mostra a diferença bruta dos argumentos e também um argumento principal equivalente.
Ângulos separados por uma volta completa identificam o mesmo número complexo; portanto, a normalização altera somente a exibição. Um numerador zero é permitido, mas um denominador zero é rejeitado porque a divisão por zero não é definida.
Como conferir sinais, unidades e respostas equivalentes
A maioria dos erros na divisão polar vem da inversão da subtração angular ou da mistura entre graus e radianos. Mantenha o numerador primeiro nas duas operações: divida o módulo dele pelo módulo do denominador e calcule o argumento dele menos o argumento do denominador. Por exemplo, (8∠150°)/(2∠30°) tem módulo 4 e argumento 120°; assim, seu valor retangular é −2 + 2√3i, aproximadamente −2 + 3.464101615138i.
Se você subtrair na ordem oposta, obterá −120°, em geral o conjugado, não o quociente. O algoritmo não usa sorteio, serviços externos, dados armazenados nem o horário atual.
Casos de uso
Conferir exercícios de números complexos
Verifique a divisão dos módulos, a subtração dos argumentos, a normalização do ângulo principal e as coordenadas cartesianas finais em uma resposta.
Dividir fasores de engenharia
Calcule razões de tensão, corrente, impedância ou valores no domínio da frequência, mantendo magnitude e fase e também partes real e imaginária.
Preparar testes determinísticos
Gere resultados estáveis e arredondados para programas que recebem valores complexos polares e precisam ser testados contra a forma retangular.
Perguntas frequentes
Qual é a regra para dividir números complexos na forma polar?
Divida o módulo do numerador pelo módulo do denominador e subtraia o argumento do denominador do argumento do numerador: (r₁∠θ₁)/(r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁−θ₂).
Como dividir 8∠150° por 2∠30°?
Divida os módulos, 8 por 2, para obter 4, e subtraia os argumentos, 150° menos 30°, para obter 120°. O quociente é 4∠120°, que na forma retangular é −2 + 3,464101615138i.
O que acontece se eu subtrair os ângulos na ordem errada?
Você obtém −120° em vez de 120°, o que em geral dá o conjugado e não o quociente. Subtraia sempre o argumento do denominador do argumento do numerador e mantenha o numerador primeiro também na divisão dos módulos.
Posso dividir por um número complexo de módulo zero?
Não. A divisão por zero não é definida, então um denominador nulo é recusado. Um numerador nulo é aceito e dá zero, embora o ângulo exibido seja apenas um representante convencional.
Por que meu livro mostra outro ângulo para o mesmo resultado?
Ângulos que diferem por uma volta completa, 360° ou 2π, representam o mesmo número complexo. A calculadora mostra a subtração direta e um ângulo principal equivalente, então os dois podem estar certos.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.complex_quotient_polar",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como informar e interpretar o quociente
Valores de ponto flutuante são arredondados para doze casas decimais para manter respostas estáveis, eliminando normalmente pequenos resíduos trigonométricos perto dos eixos. Informe numerator_modulus e denominator_modulus como números finitos segundo a convenção polar: os módulos não podem ser negativos, e o módulo do denominador deve ser estritamente positivo. Digite numerator_argument e denominator_argument na mesma unidade e selecione deg para graus ou rad para radianos. O campo argument_difference contém a subtração direta θ₁−θ₂ na unidade escolhida. quotient_argument traz o ângulo principal equivalente, normalizado ao redor de zero para facilitar comparações mesmo quando as entradas incluem várias voltas. quotient_modulus é r₁/r₂. A string polar_form reúne o módulo e o argumento normalizado; real e imaginary fornecem as coordenadas cartesianas calculadas por r cos θ e r sin θ. rectangular_form apresenta essas coordenadas como a + bi, com o sinal explícito. Um cálculo bem-sucedido pela API custa US$ 0,002; falhas de validação indicam entradas malformadas ou matematicamente indefinidas.
Como conferir sinais, unidades e respostas equivalentes
Confira também se os dois ângulos usam o angle_unit selecionado; a calculadora não consegue deduzir que um foi escrito em graus e o outro em radianos. Se um livro apresentar um ângulo diferente de quotient_argument por 360° ou 2π, as respostas são equivalentes. argument_difference preserva a subtração original. Para validar o resultado retangular, confira se sua magnitude coincide com quotient_modulus e se atan2(imaginary, real) coincide com o argumento principal.
Perguntas técnicas
Posso usar graus ou radianos?
Sim. Defina angle_unit como deg ou rad e informe os dois argumentos nessa mesma unidade. Os argumentos retornados usam a unidade escolhida.
Por que o ângulo normalizado difere da minha subtração?
Ângulos separados por uma volta completa representam o mesmo número complexo. argument_difference mostra a subtração direta, e quotient_argument mostra um ângulo principal equivalente.
O módulo do denominador pode ser zero?
Não. Módulo zero significa que o denominador é o número complexo zero, e a divisão por zero não é definida; por isso, a solicitação retorna invalid_input.
Quanto custa uma chamada API?
Cada chamada API bem-sucedida custa US$ 0,002. O mesmo núcleo determinístico também pode executar a experiência no navegador.