Komplexe Zahlen in Polarform dividieren
8∠150° geteilt durch 2∠30° ergibt 4∠120°, also −2 + 3,464101615138i. Geben Sie jede komplexe Zahl als Betrag und Argument ein, in Grad oder Bogenmaß, und erhalten Sie den Quotienten in Polarform sowie als Real- und Imaginärteil. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Betrag des Zählers
- 8
- Argument des Zählers
- 150
- Betrag des Nenners
- 2
- Argument des Nenners
- 30
- Winkeleinheit
- Deg
- Betrag des Quotienten
- 4
- Argumentdifferenz
- 120
- Argument des Quotienten
- 120
- Polarform
- 4∠120°
Dieser Rechner für Quotienten komplexer Zahlen in Polarform nutzt den entscheidenden Vorteil dieser Schreibweise: Er dividiert den Betrag des Zählers durch den Betrag des Nenners und zieht das Argument des Nenners vom Argument des Zählers ab. Geben Sie beide Zahlen mit Betrag und Argument ein, wählen Sie Grad oder Radiant und erhalten Sie den Quotienten als normierten Polarwert sowie als Real- und Imaginärteil. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keinen Netzwerkzugriff und zeigt die ursprüngliche Argumentdifferenz, damit Sie jeden Teil des Ergebnisses prüfen können.
Warum die Division in Polarform einfacher ist
Eine komplexe Zahl ungleich null lässt sich als r∠θ oder gleichwertig als r(cos θ + i sin θ) schreiben. Dabei ist r ihr nichtnegativer Betrag und θ ein Argument. Bei der Division zweier komplexer Zahlen in Polarform zerfällt die Regel in zwei vertraute Rechenschritte: Beträge dividieren und Argumente subtrahieren.
Für den Zähler r₁∠θ₁ und den Nenner r₂∠θ₂ lautet das Ergebnis (r₁/r₂)∠(θ₁−θ₂), sofern r₂ größer als null ist. Division kehrt Multiplikation um: Der Kehrwert des Nennerbetrags skaliert die Größe, während der Nennerwinkel die entsprechende Drehung rückgängig macht. Der Rechner wendet diese Identität unmittelbar an und wandelt die Eingaben nicht zuerst in die kartesische Form um.
Er gibt sowohl die unveränderte Argumentdifferenz als auch ein gleichwertiges Hauptargument aus. Winkel, die sich um eine volle Umdrehung unterscheiden, beschreiben dieselbe Zahl; die Normierung ändert daher nur die Darstellung. Ein Zähler mit Betrag null ist zulässig, ein Nenner mit Betrag null wird wegen der undefinierten Division abgelehnt.
Vorzeichen, Winkeleinheiten und gleichwertige Lösungen prüfen
Die häufigsten Fehler bei der Polardivision entstehen durch eine umgekehrte Winkelsubtraktion oder durch gemischte Winkelmaße. Setzen Sie bei beiden Operationen den Zähler an die erste Stelle: Teilen Sie seinen Betrag durch den Nennerbetrag und ziehen Sie das Nennerargument von seinem Argument ab. Beispielsweise besitzt (8∠150°)/(2∠30°) den Betrag 4 und das Argument 120°.
Kartesisch ergibt sich −2 + 2√3i, näherungsweise −2 + 3.464101615138i. Bei umgekehrter Subtraktion erhalten Sie −120° und gewöhnlich die konjugierte Zahl statt des Quotienten. Der Algorithmus verwendet weder Zufall noch externe Dienste, Speicherung oder aktuelle Uhrzeit.
Anwendungsfälle
Aufgaben zu komplexen Zahlen prüfen
Prüfen Sie Betragsdivision, Argumentsubtraktion, Hauptwinkel und kartesische Koordinaten gemeinsam.
Technische Zeiger dividieren
Berechnen Sie Verhältnisse von Spannung, Strom, Impedanz oder Frequenzwerten in beiden Darstellungen.
Deterministische Tests vorbereiten
Erzeugen Sie stabil gerundete Ergebnisse, um Polarwerte einer Software mit kartesischen Werten abzugleichen.
Häufige Fragen
Wie lautet die Regel für die Division in Polarform?
Dividieren Sie die Beträge und subtrahieren Sie das Nennerargument vom Zählerargument: (r₁∠θ₁)/(r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁−θ₂).
Wie teile ich 8∠150° durch 2∠30°?
Teilen Sie die Beträge, 8 durch 2, und Sie erhalten 4; ziehen Sie die Argumente ab, 150° minus 30°, und Sie erhalten 120°. Der Quotient ist 4∠120°, in kartesischer Form −2 + 3,464101615138i.
Was passiert, wenn ich die Winkel in falscher Reihenfolge abziehe?
Sie erhalten −120° statt 120°, was meist die konjugierte Zahl statt des Quotienten liefert. Rechnen Sie immer Argument des Zählers minus Argument des Nenners und setzen Sie auch beim Betrag den Zähler zuerst.
Kann ich durch eine komplexe Zahl mit Betrag null teilen?
Nein. Eine Division durch null ist nicht definiert, deshalb lehnt der Rechner einen solchen Nenner ab. Ein Zähler mit Betrag null ist erlaubt und ergibt null; der angezeigte Winkel ist dann nur ein üblicher Platzhalter.
Warum zeigt mein Lehrbuch für dasselbe Ergebnis einen anderen Winkel?
Winkel, die sich um eine volle Umdrehung unterscheiden, also 360° oder 2π, beschreiben dieselbe komplexe Zahl. Der Rechner zeigt die direkte Differenz und einen gleichwertigen Hauptwinkel, beide können also stimmen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"numerator_modulus":8,"numerator_argument":150,"denominator_modulus":2,"denominator_argument":30}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/complex-quotient-polar", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"numerator_modulus": 8,
"numerator_argument": 150,
"denominator_modulus": 2,
"denominator_argument": 30
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.complex_quotient_polar",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eingaben vornehmen und den Quotienten lesen
Gleitkommawerte werden für stabile Antworten auf zwölf Dezimalstellen gerundet. Dadurch verschwinden winzige trigonometrische Rundungsreste in Achsennähe üblicherweise als null. Geben Sie numerator_modulus und denominator_modulus als endliche Zahlen gemäß der Polarkonvention ein: Beträge dürfen nicht negativ sein, und der Nennerbetrag muss strikt positiv sein. Tragen Sie numerator_argument und denominator_argument in derselben Einheit ein und wählen Sie deg für Grad oder rad für Radiant. argument_difference enthält die direkte Subtraktion θ₁−θ₂ in dieser Einheit. quotient_argument zeigt den gleichwertigen, um null normierten Hauptwinkel, sodass sich auch Eingaben mit mehreren Umdrehungen leicht vergleichen lassen. quotient_modulus ist r₁/r₂. polar_form verbindet Betrag und normiertes Argument; real und imaginary liefern die mit r cos θ und r sin θ berechneten kartesischen Koordinaten. rectangular_form stellt sie mit eindeutigem Vorzeichen als a + bi dar. Eine erfolgreiche API-Berechnung kostet $0.002; Validierungsfehler kennzeichnen fehlerhafte oder mathematisch undefinierte Eingaben.
Vorzeichen, Winkeleinheiten und gleichwertige Lösungen prüfen
Stellen Sie außerdem sicher, dass beide Winkel das gewählte angle_unit verwenden; der Rechner kann nicht erkennen, wenn einer in Grad und der andere in Radiant angegeben wurde. Weicht ein Lehrbuchwinkel um 360° oder 2π von quotient_argument ab, sind beide Darstellungen gleichwertig. argument_difference bewahrt die ursprüngliche Subtraktion. Prüfen Sie die kartesische Ausgabe, indem Sie ihren Betrag mit quotient_modulus und atan2(imaginary, real) mit dem Hauptargument vergleichen.
Technische Fragen
Kann ich Grad oder Radiant verwenden?
Ja. Setzen Sie angle_unit auf deg oder rad und geben Sie beide Argumente in derselben Einheit ein; die Ausgabe verwendet diese ebenfalls.
Warum weicht der normierte Winkel von meiner Differenz ab?
Um eine Umdrehung versetzte Winkel sind gleichwertig. argument_difference zeigt die direkte Differenz, quotient_argument das Hauptargument.
Darf der Nennerbetrag null sein?
Nein. Dann wäre der Nenner die komplexe Zahl null und die Division undefiniert; die Anfrage liefert invalid_input.
Was kostet ein API-Aufruf?
Jeder erfolgreiche API-Aufruf kostet $0.002. Derselbe deterministische Kern kann auch im Browser ausgeführt werden.