تصنيف المثلثات من أطوال الأضلاع: حسب الأضلاع والزوايا

انطلاقًا من أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث، تجيب هذه الأداة عن سؤالي التصنيف الكلاسيكيين في استدعاء واحد: من حيث الأضلاع — متساوي الأضلاع أو متساوي الساقين أو مختلف الأضلاع — ومن حيث الزوايا — حاد أو قائم أو منفرج. وتتحقق أولًا من أن الأطوال يمكن أن تكوّن مثلثًا أصلًا، بتطبيق مبرهنة متباينة المثلث، وترفض الثلاثيات المستحيلة برسالة خطأ واضحة بدلًا من تصنيف لا معنى له. أما تصنيف الزوايا فيعتمد على عكس مبرهنة فيثاغورس، بمقارنة مربع أطول ضلع مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

تصنيفان في استدعاء واحد

تُصنَّف المثلثات على محورين مستقلين، وكثيرًا ما يخلط الطلاب بينهما. ينظر المحور الأول إلى الأضلاع: إذا تساوت الأضلاع الثلاثة فالمثلث متساوي الأضلاع؛ وإذا تساوا اثنان فقط فهو متساوي الساقين؛ وإذا اختلفت جميعها فهو مختلف الأضلاع. أما المحور الثاني فينظر إلى الزوايا: يكون المثلث قائمًا عندما تساوي إحدى زواياه 90 درجة تمامًا، وحادًا عندما تقل زواياه الثلاث جميعها عن 90 درجة، ومنفرجًا عندما تتجاوز إحدى زواياه 90 درجة.

ولأن المحورين مستقلان، فكل تركيبة ممكنة — فمثلث 3-4-5 مختلف الأضلاع وقائم الزاوية، بينما المثلث المتساوي الأضلاع حاد دائمًا.

التحقق أولًا: متباينة المثلث

ليست كل ثلاثة أرقام موجبة تصف مثلثًا. تنص مبرهنة متباينة المثلث على أن مجموع أي ضلعين يجب أن يكون أكبر قطعًا من الضلع الثالث؛ وعمليًا يكفي التحقق من أن مجموع الضلعين الأقصرين يفوق الضلع الأطول. أطوال مثل 1 و2 و5 تفشل في هذا الاختبار — فالضلعان القصيران لا يبلغان بعضهما ببساطة — وكذلك الحالات المنحلة مثل 1 و2 و3، حيث تنهار النقاط الثلاث على خط مستقيم واحد.

وتُجرى المقارنة بهامش نسبي صغير بحيث تُقيَّم المدخلات العشرية مثل 0.1 و0.2 و0.3 كما يقيّمها الإنسان، لا كما تفعل الحسابات الثنائية الخام.

كيف يعمل اختبار الزوايا دون قياس الزوايا

لا تحتاج إلى حساب المثلثات لتعرف هل المثلث حاد أم قائم أم منفرج — فأطوال الأضلاع وحدها تحسم ذلك. رتّب الأضلاع بحيث يكون z هو الأطول، ثم قارن z² مع x² + y². إن تساويا، فالمثلث قائم وفق عكس مبرهنة فيثاغورس.

وإن كان z² أصغر، فالضلع الأطول «أقصر من اللازم» لفتح زاوية قائمة، فتكون الزاوية المقابلة — وبالتالي المثلث كله — حادة. وإن كان z² أكبر، تنفتح الزاوية المقابلة متجاوزة 90 درجة ويكون المثلث منفرجًا. هذه هي الخوارزمية بأكملها: ترتيب واحد وثلاث عمليات ضرب ومقارنة واحدة، تُنفَّذ كلها بهامش خطأ نسبي حتى تتصرف المدخلات العشرية بشكل متوقع.