Dreiecke klassifizieren: gleichseitig, gleichschenklig & rechtwinklig

Anhand der drei Seitenlängen eines Dreiecks beantwortet diese Funktion die beiden klassischen Klassifizierungsfragen in einem einzigen Aufruf: nach den Seiten — gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig — und nach den Winkeln — spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig. Zunächst wird geprüft, ob die Längen überhaupt ein Dreieck bilden können; dazu wird der Satz der Dreiecksungleichung angewendet, und unmögliche Tripel werden mit einer klaren Fehlermeldung zurückgewiesen, statt ein bedeutungsloses Etikett zu liefern. Die Winkelklassifizierung nutzt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras und vergleicht das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der Quadrate der beiden anderen.

Zwei Klassifizierungen, ein Aufruf

Dreiecke werden entlang zweier unabhängiger Achsen klassifiziert, die Schülerinnen und Schüler häufig verwechseln. Die erste Achse betrachtet die Seiten: Sind alle drei Seiten gleich lang, ist das Dreieck gleichseitig; sind genau zwei gleich lang, ist es gleichschenklig; unterscheiden sich alle drei, ist es ungleichseitig. Die zweite Achse betrachtet die Winkel: Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn ein Winkel genau 90 Grad misst, spitzwinklig, wenn alle drei Winkel unter 90 Grad liegen, und stumpfwinklig, wenn ein Winkel 90 Grad überschreitet.

Da die beiden Achsen unabhängig sind, ist jede Kombination möglich — ein 3-4-5-Dreieck ist ungleichseitig und rechtwinklig, während ein gleichseitiges Dreieck immer spitzwinklig ist.

Zuerst die Gültigkeit: die Dreiecksungleichung

Nicht jedes Tripel positiver Zahlen beschreibt ein Dreieck. Der Satz der Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier beliebiger Seiten stets echt größer sein muss als die dritte; in der Praxis genügt es zu prüfen, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste. Längen wie 1, 2 und 5 bestehen diesen Test nicht — die kurzen Seiten können einander schlicht nicht erreichen — und ebenso wenig entartete Fälle wie 1, 2 und 3, bei denen die drei Punkte auf einer einzigen Geraden zusammenfallen würden.

Der Vergleich verwendet eine kleine relative Toleranz, sodass Gleitkomma-Eingaben wie 0.1, 0.2 und 0.3 so beurteilt werden, wie ein Mensch sie beurteilen würde — nicht so, wie es die rohe binäre Arithmetik täte.

Wie der Winkeltest ohne Winkel funktioniert

Sie brauchen keine Trigonometrie, um zu wissen, ob ein Dreieck spitz-, recht- oder stumpfwinklig ist — die Seitenlängen entscheiden das bereits. Sortieren Sie die Seiten so, dass z die längste ist, und vergleichen Sie dann z² mit x² + y². Sind beide gleich, ist das Dreieck nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras rechtwinklig.

Ist z² kleiner, ist die längste Seite „zu kurz“, um einen rechten Winkel aufzuspannen; der gegenüberliegende Winkel — und damit das ganze Dreieck — ist spitzwinklig. Ist z² größer, öffnet sich der gegenüberliegende Winkel über 90 Grad hinaus und das Dreieck ist stumpfwinklig. Das ist der gesamte Algorithmus: eine Sortierung, drei Multiplikationen und ein Vergleich, alles mit einem relativen Epsilon, damit sich Dezimalzahlen vorhersehbar verhalten.