Bretschneider-Formel: Vierecksfläche aus Seiten und Winkeln
Ermitteln Sie die Fläche eines beliebigen Vierecks aus seinen Seiten und einem Paar gegenüberliegender Winkel: Vier Seiten von 2 mit rechten Gegenwinkeln ergeben die Fläche 4. Summieren sich diese Winkel zu 180°, entspricht das Ergebnis der Formel von Brahmagupta. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 2
- B
- 2
- C
- 2
- D
- 2
- Alpha
- 90
- Gamma
- 90
- Winkeleinheit
- deg
- Umfang
- 8
- Halbumfang
- 4
- Fläche
- 4
Die Bretschneider-Formel ist die klassische geschlossene Darstellung der Fläche eines allgemeinen Vierecks, wenn die vier Seitenlängen und ein Paar gegenüberliegender Innenwinkel bekannt sind — ohne Koordinaten, Höhen oder Diagonalen. Vermessende, die ein unregelmäßiges viereckiges Grundstück abschreiten, Lernende, die Hausaufgaben zu nicht zyklischen Vierecken prüfen, sowie CAD- oder Spiel-Pipelines, die Kantenlängen plus Eckwinkel speichern, können die Grundfläche in einem einzigen deterministischen Schritt berechnen. Diese Fähigkeit prüft, dass jede Seite kürzer ist als die Summe der anderen drei, wandelt Winkel aus Grad oder Radiant um, bildet den Halbumfang, subtrahiert den Kosinus-Quadrat-Term der Hälfte der Summe der gegenüberliegenden Winkel und liefert die positive Quadratwurzel, wenn die Konfiguration geometrisch möglich ist.
Was die Bretschneider-Formel ist und wie die Zahlen funktionieren
Die Bretschneider-Formel verallgemeinert die Brahmagupta-Formel von zyklischen Vierecken auf jedes einfache Viereck. Bilden Sie den Halbumfang s als die Hälfte der Summe der vier Seiten. Wenn die beiden gegenüberliegenden Winkel hundertachtzig Grad ergeben, ist der Kosinus von neunzig Grad null, der zweite Term entfällt und die Formel fällt genau auf das Brahmagupta-Produkt unter einer einzigen Quadratwurzel zusammen — der zyklische Spezialfall.
Ein Einheitsquadrat mit Seiten eins und rechten Winkeln neunzig und neunzig liefert Fläche eins; ein Drei-mal-Vier-Rechteck mit Seiten drei, vier, drei, vier und denselben rechten gegenüberliegenden Winkeln liefert Fläche zwölf und stimmt mit Grundseite mal Höhe überein. Eine Raute mit gleichen Seiten fünf und gegenüberliegenden Winkeln sechzig und sechzig Grad liefert eine Fläche gleich Seite zum Quadrat mal Sinus des eingeschlossenen Winkels, was nach Anwendung des Kosinus-Terms mit dem Bretschneider-Radikanden übereinstimmt.
Ist der Radikand negativ, realisiert kein reelles Viereck diese Maße und das Werkzeug lehnt die Anfrage ab, statt eine Fläche zu erfinden. Jeder Schritt ist elementare Arithmetik plus ein Kosinus und eine Quadratwurzel, sodass das Ergebnis vollständig deterministisch und frei von Iteration, Stichproben oder Uhrzeitabhängigkeit ist.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchanfragen
Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: ein Quadrat oder Rechteck, um die vertraute Prüfung Grundseite mal Höhe zu erhalten, wenn die gegenüberliegenden Winkel rechte sind; eine Raute mit gleichen Seiten und gleichen spitzen gegenüberliegenden Winkeln zum Abgleich mit Seite zum Quadrat mal Sinus; und ein absichtlich unmögliches Seiten- oder Winkelsatz, um den harten Ablehnungspfad zu zeigen, der Aufrufende vor unphysikalischen Eingaben schützt. Diese Landingpage richtet sich an Personen, die nach einem Rechner zur Bretschneider-Formel oder einem Werkzeug zur allgemeinen Vierecksfläche aus Seiten und gegenüberliegenden Winkeln suchen.
Sie ist kein Koordinaten-Schnürsenkel-Löser — nutzen Sie die eigene Vierecksflächen-Fähigkeit, wenn Sie bereits geordnete Eckpunktkoordinaten statt Seiten und Winkeln haben. Bevorzugen Sie Bretschneider, wenn Sie vier Kanten und zwei gegenüberliegende Ecken gemessen oder erhalten haben und keine zuverlässige Diagonale oder Höhe vorliegt. Roundtrip-Prüfungen sind einfach: bestätigen Sie nach dem Lösen, dass der Umfang die Summe der vier Seiten ist, der Halbumfang die Hälfte davon, und dass das Quadrieren der gelieferten Fläche den Bretschneider-Radikanden innerhalb der Gleitkommatoleranz wiedergibt, wenn Sie den Kosinus-Term von Hand neu berechnen.
Anwendungsfälle
Vermessung und Abrechnung unregelmäßiger Grundstücke
Wandeln Sie abgeschrittene Kanten und gemessene gegenüberliegende Eckwinkel eines viereckigen Grundstücks in Land- oder Bodenfläche um, ohne Diagonalen zu konstruieren oder ein Koordinatengitter zu legen.
CAD-, Spiel- und Mesh-Validierung
Validieren Sie eine Vierecksfläche oder berechnen Sie die Oberfläche, wenn der Szenengraph Kantenlängen und ein Paar gegenüberliegender Innenwinkel speichert statt vollständiger Eckpunktkoordinaten.
Häufige Fragen
Wie hängt sie mit der Brahmagupta-Formel zusammen?
Wenn gegenüberliegende Winkel 180° ergeben (zyklisches Viereck), ist der Kosinus-Term null und Bretschneider reduziert sich auf Brahmagupta: Fläche = sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)).
Welche Winkel soll ich eingeben?
Ordnen Sie die Seiten a, b, c, d um den Rand, damit die Winkel an den richtigen gegenüberliegenden Ecken sitzen.
Wie berechnet man die Vierecksfläche mit der Bretschneider-Formel?
Addieren Sie die vier Seiten und halbieren Sie die Summe zum halben Umfang s. Multiplizieren Sie (s−a)(s−b)(s−c)(s−d) und ziehen Sie abcd mal das Kosinusquadrat der halben Summe der Gegenwinkel ab. Die Fläche ist die Wurzel daraus.
Wie hängt die Formel mit der Formel von Brahmagupta zusammen?
Ergeben die beiden Gegenwinkel zusammen 180°, ist der Kosinus von 90° null und der zweite Term fällt weg. Dann bleibt genau die Formel von Brahmagupta für Sehnenvierecke übrig.
Kann ich die Winkel im Bogenmaß eingeben?
Ja. Standardmäßig rechnet das Werkzeug in Grad, Sie können aber auf Radiant umstellen und die Winkel so eingeben, wie sie in Ihrer Aufgabe oder Zeichnung stehen, ohne selbst umzurechnen.
Warum lehnt der Rechner meine Maße ab?
Weil kein echtes Viereck dazu passt. Jede Seite muss kürzer sein als die anderen drei zusammen, und Seiten und Winkel müssen unter der Wurzel einen positiven Wert ergeben. Sonst erhalten Sie einen klaren Hinweis statt einer erfundenen Fläche.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/bretschneider-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6,"alpha":90,"gamma":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/bretschneider-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6,
"alpha": 90,
"gamma": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/bretschneider-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6,
"alpha": 90,
"gamma": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/bretschneider-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6,"alpha":90,"gamma":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6,"alpha":90,"gamma":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/bretschneider-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6,
"alpha": 90,
"gamma": 90
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.bretschneider_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Unmögliche Seiten-Winkel-Kombinationen und entartete Fälle mit Fläche null liefern invalid_input statt einer erfundenen Fläche.
Was die Bretschneider-Formel ist und wie die Zahlen funktionieren
Beschriften Sie die vier Seiten a, b, c und d in der Reihenfolge um den Rand, und seien alpha und gamma ein Paar gegenüberliegender Innenwinkel — klassisch der Winkel zwischen den Seiten d und a sowie der Winkel zwischen b und c. Die Fläche K ist die positive Quadratwurzel aus dem Produkt (s minus a) mal (s minus b) mal (s minus c) mal (s minus d), minus dem Produkt a mal b mal c mal d mal dem Quadrat des Kosinus der Hälfte der Summe von alpha und gamma.
Wie Sie die API aufrufen und was zurückkommt
Nutzen Sie sie aus Geometrie-Hausaufgaben-Pipelines, Land-Abrechnungs-Skripten, Mesh- und CAD-Werkzeugen, Interview-Vorbereitungs-Sandkästen oder jedem Workflow, der eine reproduzierbare allgemeine Vierecksfläche braucht, ohne auf jeder Maschine ein Computeralgebra-Paket zu installieren. Senden Sie einen JSON-Körper mit vier positiven Seitenlängen und zwei gegenüberliegenden Winkeln. Die Felder a, b, c und d sind die Seiten in Randreihenfolge; die Aliase side_a bis side_d und side1 bis side4 haben dieselbe Bedeutung. Die Felder alpha und gamma sind die gegenüberliegenden Innenwinkel; die Aliase angle_a, angle1 und angle_alpha mappen auf alpha, während angle_c, angle2 und angle_gamma auf gamma mappen. Das optionale angle_unit akzeptiert deg (Standard) oder rad, damit Aufrufende beide Konventionen ohne manuelle Umrechnung nutzen können. Bei Erfolg gibt die Antwort a, b, c, d, alpha, gamma und angle_unit zurück, ergänzt perimeter, semiperimeter, area, einen booleschen Wert cyclic_special_case, wenn die Summe der gegenüberliegenden Winkel innerhalb der Gleitkommatoleranz ein gestreckter Winkel ist, method auf bretschneider sowie einen kurzen formula-Block mit den geschlossenen Formen. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes Pflichtfeld, nicht endliche Zahl, nicht positive Seite, Seite außerhalb der veröffentlichten Grenzen, Winkel außerhalb des offenen Intervalls, Seiten, die die Vierer-Ungleichung verletzen, negativer oder nullter Bretschneider-Radikand oder ungültiges angle_unit — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist eine pauschale $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchanfragen
Halten Sie die Seitenlängen im veröffentlichten positiven Bereich bis zu einer Billion, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Lineare Einheiten sind, was Sie übergeben — Meter, Fuß oder Spieleinheiten —, solange alle vier Seiten dieselbe Einheit teilen; die API rechnet Einheiten nicht um. Winkel sind standardmäßig in Grad; übergeben Sie angle_unit rad, wenn Ihre Daten bereits in Radiant vorliegen. Fehlgeschlagene Aufgaben, die invalid_input liefern, verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, sodass explorative Skripte beim Lernen des Vertrags günstig bleiben.
Integrationsbeispiele
Hausaufgabenkontrolle zur allgemeinen Vierecksfläche
Geben Sie Lernenden vier Seitenlängen und zwei gegenüberliegende Winkel; vergleichen Sie deren handberechnete Bretschneider-Fläche mit dem deterministischen API- oder kostenlosen Browser-Ergebnis.
Technische Fragen
Was ist die Bretschneider-Formel?
Die Bretschneider-Formel bestimmt die Fläche eines Vierecks aus vier Seiten a, b, c, d und den gegenüberliegenden Winkeln alpha und gamma. Mit Halbumfang s = (a+b+c+d)/2 ist die Fläche sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d) − abcd·cos²((alpha+gamma)/2)).
Welche Eingaben werden abgelehnt?
Nicht positive Seiten, Winkel außerhalb des offenen Intervalls, Seiten, die die Vierer-Ungleichung verletzen, ungültiges angle_unit und Konfigurationen mit negativem oder nulltem Bretschneider-Radikanden liefern invalid_input.
Ist der Rechner zur Bretschneider-Formel kostenlos?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.