Brahmagupta-Formel-Rechner
Geben Sie die vier Seiten eines Vierecks im Kreis ein und erhalten Sie die Fläche: Die Seiten 3, 4, 3 und 4 ergeben einen Halbumfang von 7 und die Fläche 12. Seiten, die den Umriss nicht schließen können, werden gemeldet. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 3
- D
- 4
- Umfang
- 14
- Halbumfang
- 7
- Fläche
- 12
Die Formel von Brahmagupta ist der klassische geschlossene Weg, die Fläche eines Sehnenvierecks zu finden, wenn Sie alle vier Seitenlängen und keinen der Winkel oder Diagonalen kennen: ein Vermesser hat die vier Ränder eines zyklischen Grundstücks abgelaufen; eine Schülerin erhält vier aufeinanderfolgende Seiten einer in einen Kreis eingeschriebenen Figur; ein Spiel oder eine CAD-Pipeline braucht die Grundfläche aus vier gemessenen Kanten, ohne Höhen von Hand zu konstruieren. Dieser Brahmagupta-Formel-Rechner prüft die strenge Vierecksungleichung, damit der Umriss schließen kann, bildet den Halbumfang als Hälfte der Seitensumme und liefert die positive Quadratwurzel des Produkts aus jedem (Halbumfang minus Seite).
Was die Brahmagupta-Formel ist und wie die Zahlen funktionieren
Die Formel von Brahmagupta berechnet die Fläche eines Sehnenvierecks — eines Vierecks, dessen sämtliche Eckpunkte auf einem einzigen Kreis liegen — allein aus den vier Seitenlängen. Bezeichnen Sie die aufeinanderfolgenden Seiten a, b, c und d in der Reihenfolge um die Figur. Bilden Sie zuerst den Halbumfang s gleich (a plus b plus c plus d) geteilt durch zwei.
Dann ist die Fläche die positive Quadratwurzel aus (s minus a) mal (s minus b) mal (s minus c) mal (s minus d). Dieses Produkt unter der Wurzel ist null oder negativ, wenn die Seiten kein nichtentartetes geschlossenes Viereck bilden können; deshalb ist eine strenge Ungleichung nötig: jede Seite muss kürzer sein als die Summe der drei anderen (gleichbedeutend: jede Seite muss strikt kleiner als s sein). Eine klassische Kontrolle ist das Einheitsquadrat der Seite eins: Umfang vier, Halbumfang zwei und Fläche eins.
Ein Rechteck mit aufeinanderfolgenden Seiten drei, vier, drei, vier ergibt Halbumfang sieben und Fläche zwölf, passend zu Länge mal Breite. Ein gleichschenkliges Trapez oder jeder andere zyklische Umriss mit denselben vier Längen liefert denselben Brahmagupta-Wert — unter allen Vierecken mit gegebenen Seiten hat das Sehnenviereck die maximale Fläche, und Brahmagupta liefert dieses Maximum. Jeder Schritt ist elementare Arithmetik und eine Quadratwurzel auf vier Skalaren, ohne Iteration, ohne Stichproben, ohne Abhängigkeit von der Wanduhr und ohne Bedarf an Winkeln, Diagonalen oder Umkreisradius im Eingabevertrag.
Anwendungsfälle
Vermessung und Aufmaß aus vier gemessenen Rändern
Wandeln Sie abgelaufene oder mit dem Bandmaß gemessene Randlängen eines zyklischen Grundstücks oder Rahmens in Boden- oder Grundstücksfläche um, ohne Höhen zu konstruieren oder Eckwinkel zu messen.
Spiel-, CAD- und Mesh-Fläche aus vier Kantenlängen
Validieren Sie eine zyklische Vierecksfläche oder berechnen Sie die Oberfläche, wenn im Szenengraphen oder den Mesh-Daten nur die vier aufeinanderfolgenden Kantenlängen bekannt sind.
Häufige Fragen
Was ist die Brahmagupta-Formel?
Die Formel von Brahmagupta findet die Fläche eines Sehnenvierecks aus vier Seiten a, b, c und d. Mit Halbumfang s = (a+b+c+d)/2 ist die Fläche sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)).
Was ist die Vierecksungleichung?
Jede Seite muss strikt kürzer sein als die Summe der drei anderen. Ist eine Seite länger als oder gleich dieser Summe, bilden die Längen kein einfaches geschlossenes Viereck.
Warum werden Seiten, die nicht schließen, abgelehnt statt Fläche null?
Wenn eine Seite mindestens die Summe der drei anderen ist, existiert kein einfaches geschlossenes Viereck.
Braucht man Winkel, Diagonalen oder Koordinaten?
Nein. Es werden nur die vier aufeinanderfolgenden Seitenlängen eines Sehnenvierecks benötigt. Für nichtzyklische Figuren mit bekannten Eckpunkten nutzen Sie ein Schnürsenkel-Vierecksflächen-Werkzeug (Koordinaten).
Wie prüfe ich das Ergebnis an einem Rechteck?
Geben Sie die Seiten 3, 4, 3 und 4 eines Rechtecks ein: Die Formel liefert den Halbumfang 7 und die Fläche 12, also genau Länge mal Breite. So sehen Sie schnell, ob Sie die Seiten richtig eingetragen haben.
Haben Vierecke mit denselben Seiten immer dieselbe Fläche?
Nicht unbedingt. Unter allen Vierecken mit denselben vier Seitenlängen hat das Sehnenviereck die größte Fläche, und genau diesen Höchstwert liefert die Brahmagupta-Formel.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.cyclic_quadrilateral_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die Ergebnisse sind deterministisches JSON — kein Computer-Algebra-System, keine Zufallskeime und dieselbe reine Lösungsfunktion im kostenlosen Browser-Werkzeug und im vorausbezahlten API-Pfad — sodass Hausaufgabenprüfungen, Bewertungsskripte und Produktionspipelines jedes Mal dieselben Zahlen sehen.
Was die Brahmagupta-Formel ist und wie die Zahlen funktionieren
Scheitert eine dieser Bedingungen, existiert kein einfaches geschlossenes Viereck, und dieses Werkzeug liefert invalid_input statt einer Null- oder imaginären Fläche.
Wie Sie die API aufrufen und was zurückkommt
Bei Erfolg gibt die Antwort a, b, c und d zurück, ergänzt perimeter, semiperimeter, area, method mit dem Wert brahmagupta und eine kurze Formelzeichenkette, die die geschlossenen Formen für s und den Flächenradikanden dokumentiert. Nutzen Sie es aus Geometrie-Hausaufgaben-Pipelines, Bauaufmaß-Skripten, Spiellevel-Werkzeugen, Interview-Vorbereitungs-Sandboxes, Flächenprüfungen aus abgelaufenen Rändern eines zyklischen Grundstücks oder jedem Workflow, der eine reproduzierbare Sehnenvierecksfläche braucht, ohne auf jeder Maschine ein Computer-Algebra-Paket zu installieren. Koppeln Sie diesen Endpunkt mit der Ptolemäus-Diagonalenprodukt-Fähigkeit, wenn Sie auch das Produkt der Diagonalen aus denselben vier Seiten brauchen, und mit dem allgemeinen Schnürsenkel-Vierecksflächen-Werkzeug (shoelace), wenn Sie Eckpunktkoordinaten statt nur Seitenlängen haben. Senden Sie einen JSON-Körper mit vier Feldern. Feld a ist die erste positive Seitenlänge; die Aliase side_a, ab und side1 werden akzeptiert. Feld b ist die zweite positive Seite; die Aliase side_b, bc und side2 haben dieselbe Bedeutung. Feld c ist die dritte positive Seite; die Aliase side_c, cd und side3 werden akzeptiert. Feld d ist die vierte positive Seite; die Aliase side_d, da und side4 werden akzeptiert. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes Pflichtfeld, nicht endliche Zahl, nicht positive Seite oder ein Vierer, der die strenge Vierecksungleichung bricht — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist eine Pauschale von $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: ein Einheitsquadrat der Fläche eins; ein Rechteck drei-vier-drei-vier der Fläche zwölf; und eins-eins-eins-zehn, um den strengen Ablehnungspfad zu zeigen, der Aufrufer vor Seiten schützt, die nicht schließen können. Bevorzugen Sie Brahmagupta, wenn Sie alle vier Kanten eines zyklischen Umrisses gemessen oder erhalten haben und keine zuverlässige Höhe oder Diagonale besitzen. Round-Trip-Prüfungen sind einfach: bestätigen Sie nach dem Lösen, dass der Umfang a plus b plus c plus d ist, der Halbumfang die Hälfte davon, und dass die Fläche im Quadrat dem Produkt der vier Faktoren (s minus Seite) innerhalb der Gleitkommatoleranz entspricht. Verwandte, aber andere Absichten — ptolemäisches Diagonalenprodukt, heronsche Dreiecksfläche oder Koordinaten-shoelace — gehören auf eigene Landings und sollten diese zyklische Flächenseite nicht überladen. Halten Sie Seitenlängen endlich und positiv, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser darstellbar bleiben. Einheiten sind die, die Sie übergeben — Meter, Fuß oder Spieleinheiten — solange alle vier Seiten dieselbe Einheit teilen; die API rechnet Einheiten nicht um. Weil die Formel nur Seiten braucht, können Lernende s und die vier Faktoren bei kleinen Ganzzahlen von Hand nachrechnen und zeilenweise mit der API abgleichen. Diese Landing richtet sich an Personen, die nach einem Brahmagupta-Formel-Rechner oder einem Sehnenvierecksflächen-Werkzeug aus vier Seiten suchen; es ist kein allgemeiner Flächenlöser für nichtzyklische Vierecke — nutzen Sie shoelace aus Koordinaten, wenn die Figur nicht zyklisch ist, und die heronsche Formel, wenn Sie nur ein Dreieck haben. Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn Nutzer unmögliche Umrisse tippen, während sie den Vertrag lernen.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen zur Sehnenvierecksfläche
Geben Sie Lernenden vier aufeinanderfolgende Seitenlängen eines Sehnenvierecks; vergleichen Sie ihren handberechneten Halbumfang und die Brahmagupta-Fläche mit dem deterministischen API- oder kostenlosen Browser-Ergebnis.
Technische Fragen
Ist der Brahmagupta-Formel-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.