Formule de Brahmagupta : aire du quadrilatère cyclique
Saisissez les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et obtenez son aire : des côtés de 3, 4, 3 et 4 donnent un demi-périmètre de 7 et une aire de 12. Des côtés qui ne peuvent pas fermer la figure sont signalés. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 3
- D
- 4
- Périmètre
- 14
- Demi-périmètre
- 7
- Aire
- 12
La formule de Brahmagupta est la forme classique en expression fermée pour trouver l'aire d'un quadrilatère cyclique lorsque vous connaissez les quatre longueurs de côtés et aucun des angles ni des diagonales : un géomètre a arpenté les quatre bords d'une parcelle cyclique ; un élève reçoit quatre côtés consécutifs d'une figure inscrite dans un cercle ; un jeu ou une chaîne CAD a besoin de la surface à partir de quatre arêtes mesurées sans construire des hauteurs à la main. Ce calculateur de la formule de Brahmagupta vérifie l'inégalité stricte du quadrilatère pour que le contour puisse se fermer, forme le demi-périmètre comme la moitié de la somme des côtés et renvoie la racine carrée positive du produit de chaque (demi-périmètre moins côté).
Ce qu'est la formule de Brahmagupta et comment fonctionnent les nombres
La formule de Brahmagupta calcule l'aire d'un quadrilatère cyclique — un polygone à quatre côtés dont tous les sommets se trouvent sur un même cercle — à partir des seules longueurs des quatre côtés. Étiquetez les côtés consécutifs a, b, c et d dans l'ordre autour de la figure. Formez d'abord le demi-périmètre s égal à (a plus b plus c plus d) divisé par deux.
Ensuite l'aire est la racine carrée positive de (s moins a) fois (s moins b) fois (s moins c) fois (s moins d). Ce produit sous le radical est nul ou négatif lorsque les côtés ne peuvent pas former un quadrilatère fermé non dégénéré, d'où l'exigence d'une inégalité stricte : chaque côté doit être plus court que la somme des trois autres (de façon équivalente, chaque côté doit être strictement inférieur à s). Un contrôle classique est le carré de côté un : périmètre quatre, demi-périmètre deux et aire un.
Un rectangle de côtés consécutifs trois, quatre, trois, quatre donne un demi-périmètre sept et une aire douze, qui coïncide avec longueur fois largeur. Un trapèze isocèle ou tout autre contour cyclique avec les mêmes quatre longueurs retrouve la même valeur de Brahmagupta — parmi tous les quadrilatères de côtés donnés, le cyclique a l'aire maximale, et Brahmagupta renvoie ce maximum.
Chaque étape est de l'arithmétique élémentaire et une racine carrée sur quatre scalaires, sans itération, sans échantillonnage, sans dépendance à l'horloge et sans besoin d'angles, de diagonales ou de rayon du cercle circonscrit dans le contrat d'entrée.
Conseils pratiques, limites et recherches connexes
Pour l'enseignement, préférez des exemples appariés : un carré unitaire d'aire un ; un rectangle trois-quatre-trois-quatre d'aire douze ; et un-un-un-dix pour démontrer le rejet strict qui protège les appelants de côtés qui ne peuvent pas se fermer.
Cette page cible les personnes qui cherchent un calculateur de la formule de Brahmagupta ou un outil d'aire de quadrilatère cyclique à partir de quatre côtés ; ce n'est pas un solveur général d'aire de quadrilatère non cyclique — utilisez le lacet à partir des coordonnées lorsque la figure n'est pas cyclique, et la formule de Héron lorsque vous n'avez qu'un triangle. Préférez Brahmagupta lorsque vous avez mesuré ou reçu les quatre arêtes d'un contour cyclique et que vous n'avez pas de hauteur ou de diagonale fiable.
Les contrôles aller-retour sont simples : après résolution, confirmez que le périmètre égale a plus b plus c plus d, que le demi-périmètre en est la moitié, et que l'aire au carré égale le produit des quatre facteurs (s moins côté) dans la tolérance flottante. Des intentions liées mais distinctes — produit des diagonales de Ptolémée, aire triangulaire de Héron ou lacet par coordonnées — appartiennent à leurs propres pages plutôt que de surcharger cette page d'aire cyclique.
Cas d’usage
Arpentage et métrés à partir de quatre bords mesurés
Transformez les longueurs de bord d'une parcelle ou d'un cadre cyclique, mesurées à pas ou au ruban, en surface de sol ou de terrain sans construire d'altitudes ni mesurer d'angles de coin.
Aire jeux, CAD et maillages à partir de quatre arêtes
Validez une face quadrilatère cyclique ou calculez la surface lorsque seules les quatre longueurs d'arêtes consécutives sont connues dans le graphe de scène ou les données de maillage.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la formule de Brahmagupta ?
La formule de Brahmagupta trouve l'aire d'un quadrilatère cyclique à partir de quatre côtés a, b, c et d. Avec demi-périmètre s = (a+b+c+d)/2, l'aire est sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)).
Qu'est-ce que l'inégalité du quadrilatère ?
Chaque côté doit être strictement plus court que la somme des trois autres. Si un côté est plus long ou égal à cette somme, les longueurs ne forment pas un quadrilatère simple fermé.
Pourquoi rejeter les côtés qui ne se ferment pas plutôt que renvoyer une aire nulle ?
Lorsqu'un côté est au moins la somme des trois autres, aucun quadrilatère simple fermé n'existe.
Faut-il des angles, des diagonales ou des coordonnées ?
Non. Seules les quatre longueurs de côtés consécutives d'un quadrilatère cyclique sont requises. Pour des figures non cycliques aux sommets connus, utilisez un outil d'aire de quadrilatère par lacet (coordonnées).
Le calculateur de la formule de Brahmagupta est-il gratuit ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute en local.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", {
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.cyclic_quadrilateral_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les résultats sont du JSON déterministe — sans système d'algèbre informatique, sans graines aléatoires, et avec la même fonction pure de résolution dans l'outil gratuit du navigateur et le chemin API prépayé — afin que les contrôles de devoirs, les scripts de notation et les pipelines de production voient toujours les mêmes nombres.
Ce qu'est la formule de Brahmagupta et comment fonctionnent les nombres
Lorsqu'une de ces conditions échoue, aucun quadrilatère simple fermé n'existe et cet outil renvoie invalid_input plutôt qu'une aire nulle ou imaginaire.
Comment appeler l'API et ce qui revient
En cas de succès la réponse renvoie a, b, c et d, ajoute perimeter, semiperimeter, area, method égal à brahmagupta et une courte chaîne formula documentant les formes fermées de s et du radical d'aire. Utilisez-le depuis des pipelines de devoirs de géométrie, des scripts de métrés de construction, des outils de niveaux de jeu, des bacs à sable de préparation d'entretien, des contrôles d'aire de terrain à partir des bords arpentés d'une parcelle cyclique, ou tout flux qui a besoin d'une aire de quadrilatère cyclique reproductible sans installer un paquet d'algèbre informatique sur chaque machine. Associez ce point de terminaison à la capacité produit des diagonales de Ptolémée lorsque vous avez aussi besoin du produit des diagonales à partir des mêmes quatre côtés, et à l'outil général d'aire de quadrilatère par lacet (shoelace) lorsque vous disposez des coordonnées des sommets plutôt que des seules longueurs de côtés. Envoyez un corps JSON avec quatre champs. Le champ a est la première longueur de côté positive ; les alias side_a, ab et side1 sont acceptés. Le champ b est le deuxième côté positif ; les alias side_b, bc et side2 ont le même sens. Le champ c est le troisième côté positif ; les alias side_c, cd et side3 sont acceptés. Le champ d est le quatrième côté positif ; les alias side_d, da et side4 sont acceptés. Une validation échouée — champ obligatoire manquant, nombre non fini, côté non positif ou quatuor qui rompt l'inégalité stricte du quadrilatère — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. Le tarif est un forfait de $0.002 par requête réussie, unité item.
Conseils pratiques, limites et recherches connexes
Gardez des longueurs de côtés finies et positives afin que les produits intermédiaires restent représentables en double précision IEEE sur le Worker et dans le navigateur. Les unités sont celles que vous passez — mètres, pieds ou unités de jeu — tant que les quatre côtés partagent la même unité ; l'API ne convertit pas les unités. Comme la formule n'a besoin que des côtés, les élèves peuvent recalculer s et les quatre facteurs à la main pour de petits entiers et coller ligne par ligne à l'API. Les tâches en échec qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé, ce qui maintient les scripts exploratoires bon marché lorsque les utilisateurs saisissent des contours impossibles en apprenant le contrat.
Cas d'intégration
Contrôles de devoirs et d'examens sur l'aire du quadrilatère cyclique
Donnez aux élèves quatre longueurs de côtés consécutives d'un quadrilatère cyclique ; comparez leur demi-périmètre et leur aire de Brahmagupta calculés à la main au résultat déterministe de l'API ou du navigateur gratuit.