Formule de Héron : aire d'un triangle à partir de trois côtés
Obtenez l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés seulement, sans angle ni hauteur : les côtés 3, 4 et 5 donnent un demi-périmètre de 6 et une aire de 6. Les longueurs qui ne ferment pas un triangle sont signalées. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Longueur du premier côté
- 3
- Longueur du deuxième côté
- 4
- Longueur du troisième côté
- 5
- Périmètre
- 12
- Demi-périmètre
- 6
- Aire
- 6
La formule de Héron est la méthode classique pour trouver l'aire d'un triangle lorsque vous connaissez les trois longueurs des côtés et aucun des angles : un géomètre a mesuré les trois bords d'une parcelle ; un étudiant reçoit des données SSS sans hauteur ; un pipeline de jeu ou de CAO a besoin d'une surface au sol à partir de trois arêtes mesurées sans construire de hauteurs à la main. Cette capacité vérifie l'inégalité triangulaire stricte afin que la figure soit non dégénérée, forme le demi-périmètre comme la moitié de la somme des côtés, et renvoie la racine carrée positive de s multiplié par chaque (s moins un côté).
Ce qu'est la formule de Héron et comment fonctionnent les nombres
La formule de Héron (parfois écrite formule de Héro) calcule l'aire d'un triangle à partir des seules longueurs des côtés. Nommez les côtés a, b et c. Formez d'abord le demi-périmètre s égal à (a plus b plus c) divisé par deux.
L'aire est alors la racine carrée positive de s fois (s moins a) fois (s moins b) fois (s moins c). Ce produit sous le radical est nul précisément lorsque les côtés sont colinéaires — lorsqu'un côté est égal à la somme des deux autres — donc une inégalité triangulaire stricte est requise : a plus b doit dépasser c, a plus c doit dépasser b, et b plus c doit dépasser a.
Un contrôle classique est le triangle rectangle trois-quatre-cinq : périmètre douze, demi-périmètre six, et aire six, ce qui correspond à la moitié de la base fois la hauteur avec des côtés trois et quatre. Un triangle équilatéral de côté cinq donne un demi-périmètre de sept virgule cinq et une aire égale à la célèbre (racine carrée de trois sur quatre) fois le côté au carré, que vous pouvez vérifier à la main.
Chaque étape n'est qu'arithmétique élémentaire et une racine carrée sur trois scalaires, donc il n'y a ni itération, ni échantillonnage, ni dépendance à l'horloge, ni besoin d'angles ou de hauteurs dans le contrat d'entrée.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Pour l'enseignement, préférez des exemples appariés : trois-quatre-cinq pour un triangle rectangle d'aire entière six ; cinq-cinq-cinq pour l'aire équilatérale ; et un-deux-dix pour démontrer le rejet ferme qui protège les appelants d'un non-triangle. Cette page cible les personnes recherchant un calculateur de la formule de Héron ou un outil d'aire de triangle à partir de trois côtés ; ce n'est pas un solveur SAS basé sur un angle — utilisez la capacité SAS dédiée lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle inclus plutôt que trois longueurs.
Préférez Héron lorsque vous avez mesuré ou reçu les trois arêtes et n'avez ni hauteur ni angle fiable. Les vérifications aller-retour sont faciles : après la résolution, confirmez que le périmètre est égal à a plus b plus c, que le demi-périmètre en est la moitié, et que l'aire au carré est égale à s fois chaque (s moins un côté) dans la tolérance flottante.
Cas d’usage
Arpentage et métré de parcelle à partir de trois arêtes mesurées
Transformez les longueurs des bords mesurés ou rubanés d'un terrain triangulaire en surface de plancher ou foncière sans construire de hauteur ni mesurer un angle de coin.
Aire de maillage, de jeu et de CAO à partir de trois longueurs d'arêtes
Validez une face triangulaire ou calculez une surface lorsque seules les trois longueurs d'arêtes sont connues dans le graphe de scène ou les données de maillage.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la formule de Héron ?
La formule de Héron trouve l'aire d'un triangle à partir de trois longueurs de côtés a, b et c. Avec le demi-périmètre s = (a+b+c)/2, l'aire est sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).
Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?
Chaque côté doit être strictement plus court que la somme des deux autres : a+b>c, a+c>b et b+c>a. Si l'une échoue, les longueurs ne forment pas un triangle non dégénéré.
Pourquoi les côtés colinéaires sont-ils rejetés au lieu de renvoyer une aire nulle ?
Lorsque a+b=c, la figure est un segment de droite, pas un triangle.
Faut-il des angles ou une hauteur ?
Non. Seules les trois longueurs des côtés sont requises. Si vous avez plutôt deux côtés et l'angle inclus, utilisez un calculateur de triangle SAS.
Le calculateur de la formule de Héron est-il gratuit ?
L'outil du navigateur est gratuit et s'exécute localement.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.heron_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_side | 1000000000000 |
min_side | 1e-15 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les résultats sont des JSON déterministes — aucun système de calcul formel, aucune graine aléatoire, et la même fonction de résolution pure dans l'outil gratuit du navigateur et dans le chemin API prépayé — de sorte que les vérifications de devoirs, les scripts de notation et les pipelines de production voient tous les mêmes nombres à chaque fois.
Ce qu'est la formule de Héron et comment fonctionnent les nombres
Si l'une de ces conditions échoue, aucun triangle n'existe et cet outil renvoie invalid_input plutôt qu'une aire nulle ou imaginaire.
Comment appeler l'API et ce qui est renvoyé
En cas de succès, la réponse renvoie a, b et c, ajoute perimeter, semiperimeter, area, method fixé à heron, et un court bloc formula documentant les formes closes pour s et le radical de l'aire. Utilisez-le depuis des pipelines de devoirs de géométrie, des scripts de métré de construction, des outils de niveaux de jeu, des bacs à sable de préparation aux entretiens, des contrôles de surface foncière à partir de bords mesurés, ou tout flux de travail nécessitant une aire SSS reproductible sans installer un logiciel de calcul formel sur chaque machine. Envoyez un corps JSON avec trois champs. Le champ a est la première longueur de côté positive ; les alias side_a et side1 sont acceptés. Le champ b est le deuxième côté positif ; les alias side_b et side2 correspondent au même sens. Le champ c est le troisième côté positif ; les alias side_c et side3 sont acceptés. Une validation échouée — champ requis manquant, nombre non fini, côté non positif, côté hors des limites publiées, ou triplet qui enfreint l'inégalité triangulaire stricte — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. La tarification est un forfait de $0.002 par requête réussie avec l'unité item et un prix unitaire marginal nul.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Gardez les longueurs des côtés dans la plage positive publiée jusqu'à un billion afin que les produits intermédiaires restent finis en double précision IEEE sur le Worker et dans le navigateur. Les unités sont celles que vous passez — mètres, pieds ou unités de jeu — tant que les trois côtés partagent la même unité ; l'API ne convertit pas les unités pour vous. Comme la formule n'a besoin que des côtés, les étudiants peuvent recalculer s et les quatre facteurs à la main pour de petits entiers et correspondre à l'API ligne par ligne. Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas de solde prépayé, ce qui garde les scripts exploratoires bon marché lorsque les utilisateurs saisissent des triplets impossibles en apprenant le contrat.
Cas d'intégration
Vérification des devoirs et examens pour les problèmes d'aire SSS
Donnez aux étudiants trois longueurs de côtés ; comparez leur demi-périmètre calculé à la main et l'aire de Héron avec un résultat d'API déterministe ou du navigateur gratuit.