Calculadora da fórmula de Heron: área do triângulo a partir de três lados
Obtenha a área de um triângulo só com os três lados, sem ângulos nem altura: os lados 3, 4 e 5 dão um semiperímetro de 6 e uma área de 6. Medidas que não fecham um triângulo são apontadas. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Comprimento do primeiro lado
- 3
- Comprimento do segundo lado
- 4
- Comprimento do terceiro lado
- 5
- Perímetro
- 12
- Semiperímetro
- 6
- Área
- 6
A fórmula de Heron é o caminho clássico para encontrar a área de um triângulo quando você conhece os três comprimentos dos lados e nenhum dos ângulos: um agrimensor mediu as três bordas de um terreno; um estudante recebe dados do tipo LLL sem altura; um pipeline de jogo ou de CAD precisa da área a partir de três arestas medidas, sem construir alturas à mão. Esta capacidade verifica a desigualdade triangular estrita para garantir que a figura não seja degenerada, forma o semiperímetro como metade da soma dos lados e devolve a raiz quadrada positiva de s vezes cada (s menos lado).
O que é a fórmula de Heron e como os números funcionam
A fórmula de Heron (às vezes escrita como fórmula de Herão) calcula a área de um triângulo apenas a partir dos comprimentos dos lados. Chame os lados de a, b e c. Primeiro forme o semiperímetro s igual a (a mais b mais c) dividido por dois.
Depois, a área é a raiz quadrada positiva de s vezes (s menos a) vezes (s menos b) vezes (s menos c). Esse produto sob o radical é zero exatamente quando os lados são colineares — quando um lado é igual à soma dos outros dois — por isso é exigida a desigualdade triangular estrita: a mais b deve ser maior que c, a mais c deve ser maior que b, e b mais c deve ser maior que a.
Uma verificação clássica de sanidade é o triângulo retângulo três-quatro-cinco: perímetro doze, semiperímetro seis e área seis, o que confere com metade da base vezes a altura com catetos três e quatro. Um triângulo equilátero de lados cinco tem semiperímetro sete e meio e área igual ao conhecido (raiz de três sobre quatro) vezes o lado ao quadrado, que você pode conferir à mão.
Cada etapa é aritmética elementar e uma raiz quadrada sobre três escalares, portanto não há iteração, nem amostragem, nem dependência do relógio, nem necessidade de ângulos ou alturas no contrato de entrada.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: três-quatro-cinco para um triângulo retângulo de área inteira seis; cinco-cinco-cinco para a área equilátera; e um-dois-dez para demonstrar o caminho de rejeição dura que protege quem chama de um não-triângulo. Esta página atende quem busca uma calculadora da fórmula de Heron ou uma ferramenta de área de triângulo a partir de três lados; ela não é um solucionador LAL baseado em ângulo — use a capacidade dedicada LAL quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles em vez de três comprimentos.
Prefira Heron quando você mediu ou recebeu as três arestas e não tem altura nem ângulo confiáveis. Verificações de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que o perímetro é igual a a mais b mais c, que o semiperímetro é a metade disso e que a área ao quadrado é igual a s vezes cada (s menos lado) dentro da tolerância de ponto flutuante.
Casos de uso
Agrimensura e orçamento a partir de três arestas medidas
Transforme os comprimentos medidos das bordas de um lote triangular em área de terreno ou de construção sem construir altura nem medir ângulo de canto.
Área em jogos, CAD e malhas a partir de três arestas
Valide uma face triangular ou calcule a área de superfície quando só os três comprimentos de aresta são conhecidos no grafo de cena ou nos dados da malha.
Perguntas frequentes
O que é a fórmula de Heron?
A fórmula de Heron encontra a área de um triângulo a partir dos três lados a, b e c. Com o semiperímetro s = (a+b+c)/2, a área é sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).
O que é a desigualdade triangular?
Cada lado deve ser estritamente menor que a soma dos outros dois: a+b>c, a+c>b e b+c>a. Se alguma falhar, os comprimentos não formam um triângulo não degenerado.
Por que lados colineares são rejeitados em vez de devolver área zero?
Quando a+b=c a figura é um segmento de reta, não um triângulo.
Isso precisa de ângulos ou altura?
Não. Apenas os três comprimentos de lado são necessários. Se você tiver dois lados e o ângulo entre eles, use uma calculadora de triângulo LAL.
A calculadora da fórmula de Heron é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.heron_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_side | 1000000000000 |
min_side | 1e-15 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Os resultados são JSON determinístico — sem sistema de álgebra computacional, sem sementes aleatórias e com a mesma função pura de resolução na ferramenta gratuita do navegador e no caminho pago da API — de modo que correções de lição de casa, scripts de avaliação e pipelines de produção veem sempre os mesmos números.
O que é a fórmula de Heron e como os números funcionam
Quando qualquer uma delas falha, não existe triângulo e esta ferramenta devolve invalid_input em vez de uma área zero ou imaginária.
Como chamar a API e o que ela devolve
Em caso de sucesso, a resposta ecoa a, b e c, acrescenta perimeter, semiperimeter, area, method definido como heron e um pequeno bloco de fórmula documentando as formas fechadas de s e do radical da área. Use a partir de pipelines de lição de geometria, scripts de orçamento de obras, ferramentas de níveis de jogos, ambientes de preparação para entrevistas, verificações de área de terrenos a partir de bordas medidas ou qualquer fluxo que precise de uma área LLL reproduzível sem instalar um pacote de álgebra computacional em cada máquina. Envie um corpo JSON com três campos. O campo a é o primeiro comprimento de lado positivo; os alias side_a e side1 são aceitos. O campo b é o segundo lado positivo; os alias side_b e side2 têm o mesmo significado. O campo c é o terceiro lado positivo; os alias side_c e side3 são aceitos. Uma validação que falha — campo obrigatório ausente, número não finito, lado não positivo, lado fora dos limites publicados ou uma trinca que viola a desigualdade triangular estrita — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um valor fixo de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida, com item unitário e preço unitário marginal zero.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha os comprimentos dos lados dentro do intervalo positivo publicado, até um trilhão, para que os produtos intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você passar — metros, pés ou unidades de jogo — desde que os três lados usem a mesma unidade; a API não converte unidades para você. Como a fórmula só precisa dos lados, os estudantes podem recalcular s e os quatro fatores à mão com inteiros pequenos e conferir a API linha por linha. Tarefas que falham e devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém scripts exploratórios baratos quando os usuários digitam trincas impossíveis enquanto aprendem o contrato.
Casos de integração
Verificação de lição e provas de área LLL
Dê aos estudantes três comprimentos de lado; compare o semiperímetro e a área de Heron calculados à mão com o resultado determinístico da API ou do navegador.