Área do triângulo com fórmula de Heron
Os lados 3, 4 e 5 dão semiperímetro 6 e área 6. Informe três comprimentos, sem ângulos nem altura, e receba a área e o perímetro, ou um aviso claro quando os lados não conseguem formar um triângulo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 5
- Perímetro
- 12
- Semiperímetro
- 6
- Área
- 6
Quando você conhece apenas os três comprimentos dos lados de um triângulo e nenhum ângulo ou altura, a fórmula de Heron é a forma fechada padrão que ainda fornece a área. Topógrafos medem a passos as três arestas de um lote triangular; alunos recebem exercícios LLL sem altitude desenhada; pipelines de CAD e de jogos armazenam faces de malha como três comprimentos de aresta sem um par base-altura. Esta capacidade valida que os lados formam um triângulo não degenerado, constrói o semiperímetro como metade do perímetro e devolve a raiz quadrada positiva de s vezes cada (s menos lado).
O que a fórmula de Heron calcula e por que a desigualdade triangular importa
A fórmula de Heron (também chamada fórmula de Hero) calcula a área de qualquer triângulo não degenerado apenas a partir dos três comprimentos dos lados. Rotule os lados a, b e c. Primeiro forme o semiperímetro s como (a mais b mais c) dividido por dois.
Em seguida a área é a raiz quadrada positiva do produto s vezes (s menos a) vezes (s menos b) vezes (s menos c). Esse produto sob o radical é zero exatamente quando os três comprimentos são colineares — quando um lado é igual à soma dos outros dois —, por isso exige-se a desigualdade triangular estrita: a mais b deve superar c, a mais c deve superar b, e b mais c deve superar a.
Uma verificação inteira clássica é o triângulo retângulo três-quatro-cinco: perímetro doze, semiperímetro seis e área seis, coincidindo com metade da base três vezes a altura quatro. Um triângulo equilátero com lados iguais a cinco produz semiperímetro sete ponto cinco e área igual à conhecida (raiz quadrada de três sobre quatro) vezes o lado ao quadrado, que você pode recalcular à mão para conferência.
Cada passo é aritmética elementar mais uma raiz quadrada em três escalares, sem iteração, sem amostragem, sem dependência do relógio e sem necessidade de ângulos ou altitudes no contrato de entrada.
Dicas práticas, limites e quando preferir Heron a outros solucionadores
Prefira exemplos didáticos em pares: três-quatro-cinco para um triângulo retângulo com área inteira seis; cinco-cinco-cinco para a área equilátera; e um-dois-dez para demonstrar a rejeição rígida que protege quem chama de uma figura que não é triângulo. Esta página atende quem busca uma calculadora de área triangular com a fórmula de Heron ou uma ferramenta de área a partir de três lados; não é um solucionador LAL baseado em ângulo — use uma capacidade LAL dedicada quando você conhece dois lados e o ângulo incluído em vez de três comprimentos.
Prefira Heron quando mediu ou recebeu as três arestas e não tem altura ou ângulo confiáveis. Prefira base vezes altura quando a altitude já é conhecida e você só precisa do produto metade. Prefira métodos de coordenadas ou shoelace quando os vértices vêm como pontos e não como comprimentos de aresta.
Casos de uso
Topografia e medição a partir de três arestas medidas
Transforme comprimentos de borda de um lote triangular, medidos a passos ou com trena, em área de piso ou terreno sem construir uma altitude ou medir um ângulo de canto.
Área em jogos, CAD e malhas a partir de três arestas
Valide uma face triangular ou calcule a área de superfície quando apenas os três comprimentos de aresta são conhecidos no grafo de cena ou nos dados da malha.
Perguntas frequentes
O que é a fórmula de Heron?
A fórmula de Heron encontra a área de um triângulo a partir de três lados a, b e c. Com semiperímetro s = (a+b+c)/2, a área é sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).
O que é a desigualdade triangular?
Cada lado deve ser estritamente menor que a soma dos outros dois: a+b>c, a+c>b e b+c>a. Se alguma falhar, os comprimentos não formam um triângulo não degenerado.
Por que lados colineares são rejeitados em vez de devolver área zero?
Quando a+b=c a figura é um segmento de reta, não um triângulo.
É preciso ângulos ou altura?
Não. Só são necessários os três comprimentos dos lados. Se você tem dois lados e o ângulo incluído, use uma calculadora de triângulo LAL.
A calculadora de área com a fórmula de Heron é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.area_heron",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_side | 1000000000000 |
min_side | 1e-15 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a fórmula de Heron calcula e por que a desigualdade triangular importa
Quando qualquer uma dessas três verificações falha, não existe triângulo e esta ferramenta devolve invalid_input em vez de uma área nula, negativa ou imaginária. Produtos intermediários em ponto flutuante permanecem finitos quando os lados ficam dentro da faixa positiva publicada, até um trilhão, o envelope prático tanto no Worker quanto no navegador.
Como chamar a calculadora e como ler a resposta
Em caso de sucesso, a resposta ecoa a, b e c após arredondamento fixo de doze casas decimais, adiciona perimeter, semiperimeter, area, method com valor heron e um bloco formula curto que documenta as formas fechadas de s e do radical da área. Checagens de ida e volta são simples após o sucesso: confirme que o perímetro é a mais b mais c, que o semiperímetro é a metade desse valor e que a área ao quadrado é s vezes cada (s menos lado) dentro da tolerância usual de ponto flutuante. Envie um corpo JSON com três números finitos positivos obrigatórios. O campo a é o primeiro comprimento de lado; os aliases side_a e side1 são aceitos com o mesmo significado. O campo b é o segundo lado; side_b e side2 funcionam da mesma forma. O campo c é o terceiro lado; side_c e side3 são aceitos. Validação falha — campo obrigatório ausente, valor não finito, lado não positivo, lado fora dos limites publicados ou terno que quebra a desigualdade triangular estrita — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é uma tarifa fixa de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida com unidade item. Use o endpoint em pipelines de exercícios de geometria, scripts de medição em obra, ferramentas de níveis de jogo, sandboxes de preparação para entrevistas, checagens de área de terreno a partir de arestas medidas, ou qualquer fluxo que precise de uma área LLL reproduzível sem instalar um pacote de álgebra computacional em cada máquina. As unidades são as que você passar — metros, pés ou unidades de jogo — desde que os três lados compartilhem a mesma unidade; a API não converte unidades.
Dicas práticas, limites e quando preferir Heron a outros solucionadores
Mantenha os comprimentos dos lados estritamente positivos e no máximo um trilhão para que os produtos intermediários permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. Como a fórmula só precisa de lados, os alunos podem recalcular s e os quatro fatores à mão com inteiros pequenos e conferir linha a linha com a API. Tarefas com falha que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando se digitam ternos impossíveis ao aprender o contrato. Fixe a área e o semiperímetro arredondados em testes automatizados para que refatorações do Worker não alterem em silêncio números de sala de aula ou de produção. Se você só precisa do semiperímetro sem a raiz quadrada, ainda pode chamar este endpoint e ignorar o campo area, ou usar um auxiliar dedicado de semiperímetro quando essa for a única grandeza de interesse.
Casos de integração
Conferência de tarefas e provas de área LLL
Dê aos alunos três comprimentos de lado; compare o semiperímetro e a área de Heron calculados à mão com o resultado determinístico da API ou do navegador gratuito.